"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В., Разумовский В.А. и др.
Устные приёмы умножения и деления помогают находить результат без вычислений столбиком. Для этого число раскладывают на удобные слагаемые или множители, а действия выполняют по известным свойствам умножения и деления. Например, 23 · 4 можно заменить суммой 20 · 4 и 3 · 4. Главное — выбрать преобразование, которое упрощает счёт, не меняя значения выражения, а затем оценить ответ и проверить деление умножением.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Устное умножение — вычисление произведения без записи столбиком. Чтобы умножить число на двузначный или многозначный множитель, его можно разложить на разрядные слагаемые. Например, 23 = 20 + 3, поэтому вычисление становится суммой двух более простых произведений.
Устное деление — нахождение частного с помощью известных действий и удобного разложения делимого или делителя. Делимое — число, которое делят, а частное — результат деления. Разложение помогает заменить один трудный шаг несколькими простыми, если части подходят для деления.
Распределительное свойство умножения записывают так: a(b + c) = ab + ac и a(b − c) = ab − ac. Оно означает, что число умножают на каждое слагаемое в скобках, сохраняя сложение или вычитание между результатами. Это свойство нужно, чтобы заменить сложное вычисление несколькими более лёгкими.
Удобное разложение числа — представление числа в виде суммы, разности или произведения, которое упрощает вычисление. Например, число 99 можно представить как 100 − 1, а 16 — как 4 · 4. Подходящий вид зависит от второго множителя или делителя.
Чтобы умножить двузначное число на однозначное, представь первое число суммой разрядных слагаемых. Например, 23 = 20 + 3, поэтому 23 · 4 = (20 + 3) · 4 = 20 · 4 + 3 · 4. Получаются отдельные произведения, которые легко найти: 80 + 12 = 92. Такой ход работает благодаря распределительному свойству: умножение суммы на число равносильно сумме произведений.
Круглое число иногда удобно заменить суммой или разностью близких круглых чисел. Например, 39 · 6 можно вычислить как (40 − 1) · 6: сначала найти 40 · 6, а затем вычесть 1 · 6. Получится 240 − 6 = 234. Выбирай ближайшее круглое число, если действия с ним проще исходного умножения; при разложении-разности не теряй знак минус.
Если выражение содержит несколько множителей, их можно переставлять и группировать, потому что от этого произведение не меняется. Ищи пару, которая даёт 10, 100 или другое простое для вычислений число. В выражении 16 · 25 можно представить 16 как 4 · 4 и сначала вычислить 4 · 25 = 100, а затем умножить 100 на оставшуюся четвёрку. Такой способ сокращает количество неудобных промежуточных действий.
Сумму можно разделить на число по слагаемым, если каждое слагаемое делится на этот делитель. Например, 936 : 9 удобно представить как (900 + 36) : 9, поскольку и 900, и 36 делятся на 9. Тогда достаточно найти 900 : 9 и 36 : 9 и сложить частные. Если слагаемое не делится нацело, такое разложение может оказаться неудобным — выбери другое или используй иной приём.
Подходящий приём выбирают по числам: ищут круглые десятки, сотни, пары множителей и слагаемые, делящиеся нацело. До вычисления полезно прикинуть результат: например, 24 · 3 должно быть близко к 20 · 3, то есть примерно к 60. После вычисления сравни ответ с этой оценкой — она помогает заметить ошибку в разряде или знаке. При делении дополнительно проверь частное умножением.
Таблица показывает, какое преобразование выбрать для разных выражений. Сначала посмотри на числа и найди удобные слагаемые или множители, затем проверь, что преобразование сохраняет значение. Если ответ кажется неожиданным, выполни прикидку или проверку обратным действием.
| Приём | Как преобразовать выражение | Пример | Когда удобно применять |
|---|---|---|---|
| Умножение на разложенный множитель | Представить множитель суммой разрядных слагаемых и умножить на каждое | 23 · 4 = 20 · 4 + 3 · 4 | Когда множитель легко разложить на десятки и единицы |
| Умножение на круглое число | Заменить множитель суммой или разностью близких круглых чисел | 39 · 6 = 40 · 6 − 1 · 6 | Когда рядом есть число, которое проще умножать |
| Группировка множителей | Переставить и объединить множители, чтобы получить удобное произведение | 16 · 25 = 4 · (4 · 25) | Когда пара множителей даёт круглое число |
| Деление суммы на число | Разложить делимое на слагаемые, каждое из которых делится на делитель | 936 : 9 = 900 : 9 + 36 : 9 | Когда частные слагаемых легко найти |
| Проверка деления умножением | Умножить частное на делитель | 104 · 9 = 936 | Чтобы проверить найденное частное |
Задача 1. Вычислите устно: 24 · 3. Число 24 удобно разложить на десятки и единицы, потому что обе части легко умножить на 3. Применим распределительное свойство и сложим полученные произведения. Так мы не меняем значение выражения, а только заменяем один шаг двумя простыми.
Ответ: 72. Прикидка подтверждает результат: 24 близко к 20, а 20 · 3 = 60, значит произведение должно быть немного больше 60.
Задача 2. Вычислите устно: 16 · 25. Прямое умножение можно упростить, если заменить 16 произведением 4 · 4. Тогда один множитель 4 вместе с 25 сразу даст круглую сотню. Оставшееся умножение на 4 выполнить легко.
Ответ: 400. Переставили и сгруппировали только множители, поэтому значение произведения сохранилось. Проверить порядок величины можно оценкой: 16 · 25 — это четыре раза по 100, то есть 400.
Задача 3. Вычислите устно 936 : 9 и проверьте результат. Разложим делимое на части, которые делятся на 9 без остатка. Числа 900 и 36 подходят, а их сумма равна исходному делимому. После сложения частных проверим результат обратным действием.
Ответ: 104. Проверка дала исходное делимое, значит частное найдено верно. Прикидка тоже подходит: 936 близко к 900, а 900 : 9 = 100, поэтому частное около 100.
При умножении суммы на число иногда умножают только первое слагаемое: например, считают (20 + 3) · 4 как 20 · 4. Так происходит, когда забывают, что число умножается на каждую часть суммы. Запиши оба произведения и проверь, что ни одно слагаемое не пропущено: (20 + 3) · 4 = 20 · 4 + 3 · 4.
При умножении на разность можно забыть сохранить вычитание между произведениями. Например, (40 − 1) · 6 — это 40 · 6 − 1 · 6, а не сумма этих результатов. Ошибка возникает, если механически раскрывать скобки и не следить за знаком. Проверь знак по исходному выражению: внутри скобок было вычитание — между произведениями тоже остаётся вычитание.
При делении суммы иногда делят на делитель только одно слагаемое. Например, из выражения (900 + 36) : 9 нельзя получить 900 + 36 : 9: делитель должен относиться к обоим слагаемым. Кроме того, каждое слагаемое должно делиться нацело, если считаем в натуральных числах. Проверь запись скобками и убедись, что деление выполнено для каждой части.
Перестановка и группировка множителей не разрешают произвольно менять местами числа в делении. Например, 20 : 5 и 5 : 20 — разные действия, а делимое и делитель не являются множителями одного произведения. Ошибка появляется, если считать все знаки действий одинаково переставляемыми. Проверь, что переставляешь именно множители в умножении, а не числа в выражении с делением.
Для устного счёта нужны знание таблицы умножения и деления, понимание разрядного состава натуральных чисел и умение соблюдать порядок действий. Эти знания помогают разложить число на десятки и единицы, быстро найти частные и не перепутать шаги вычисления. Если основа пока даётся трудно, полезно сначала повторить таблицу и состав чисел.
Устные приёмы пригодятся при вычислениях с натуральными числами и десятичными дробями, а также при проверке письменных вычислений. Разложение и группировка помогают упростить счёт ещё до записи столбиком. Прикидка позволяет заметить неправдоподобный результат и проверить вычисление другим способом.
Как выбрать, на какие слагаемые разложить число?
Выбирай слагаемые, с которыми легко выполнить умножение или деление: например, разложи 23 на 20 и 3. При делении подойдут такие слагаемые, каждое из которых делится на делитель без остатка. После преобразования проверь, что исходное число действительно равно сумме выбранных частей.
Почему при умножении суммы на число нужно умножить каждое слагаемое?
Сумма состоит из отдельных частей, и умножение числа на всю сумму означает умножить каждую часть на это число. Поэтому a(b + c) = ab + ac. Если умножить только одно слагаемое, часть суммы потеряется и значение выражения изменится.
Можно ли разделить сумму на число по слагаемым?
Да, если каждое слагаемое делится на это число. Тогда (a + b) : c = a : c + b : c. Если хотя бы одно слагаемое не делится нацело, такой приём в целых числах не подходит.
Какие множители удобнее перемножить сначала?
Сначала перемножай те множители, которые дают круглое или легко вычисляемое число. Например, в выражении 16 · 25 удобно сначала вычислить 4 · 25 = 100, потому что 16 можно представить как 4 · 4. Перестановка и группировка допустимы именно для множителей.
Как быстро проверить результат устного деления?
Умножь частное на делитель: должно получиться делимое. Например, если 936 : 9 = 104, проверка — 104 · 9 = 936. Прикидка также помогает заметить ответ, который слишком велик или мал.
Урок 5.Устные приемы умножения и деления
