"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В., Разумовский В.А. и др.
Устные приёмы умножения и деления помогают вычислять без столбика, если заметить удобное устройство чисел. Круглые числа можно умножать, временно не учитывая нули, а множитель рядом с круглым — разложить на сумму или разность. Деление упрощают, представляя делимое как сумму подходящих слагаемых или сокращая общие множители. Главное — выбрать верное преобразование, аккуратно выполнить действия и проверить ответ обратным действием или оценкой.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Устный приём умножения — способ выполнить умножение в уме, преобразовав вычисление в более удобное. Например, вместо умножения на число, близкое к круглому, можно умножить на круглое, а затем поправить результат. Такой приём нужен, чтобы считать быстрее и не терять точность.
Устный приём деления — способ упростить деление с помощью известных свойств действий и табличных результатов. Делимое можно представить как сумму удобных чисел или использовать общие множители. Это помогает заменить сложное вычисление несколькими простыми и контролируемыми шагами.
Круглое число — число, оканчивающееся одним или несколькими нулями; при вычислениях нули учитывают отдельно. Например, 40 — это 4 десятка, поэтому сначала можно умножить число на 4. Такое представление делает счёт проще, но нули в окончательном результате забывать нельзя.
Распределительное свойство умножения — правило, позволяющее умножить число на сумму или разность: a(b + c) = ab + ac. Для разности действует похожее правило: a(b − c) = ab − ac. Оно позволяет разбить неудобный множитель на части и вычислить отдельные произведения.
Удобный устный приём выбирают по виду чисел: ищут круглое число, подходящее разложение на слагаемые или общие множители. Причина в том, что вычисления с маленькими числами или табличными результатами обычно проще. Например, 25 можно представить как 100 : 4, если такое преобразование помогает считать. Перед вычислением полезно проверить, что выбранное представление действительно упрощает задачу.
При умножении на круглое число сначала умножают на число без нулей, а потом учитывают разряд. Например, в числе 30 три десятка, значит произведение 24 · 30 в 10 раз больше, чем 24 · 3. Так ноль не мешает выполнить основное умножение, а затем возвращается в нужное место результата. Если нулей несколько, учитывают каждый из них.
Число, близкое к круглому, удобно представить суммой или разностью круглого числа и небольшой добавки. Например, 19 — это 20 − 1, поэтому 19 · 6 можно заменить на (20 − 1) · 6. По распределительному свойству умножают 6 и на 20, и на 1, а затем вычитают второе произведение из первого. Этот способ полезен, потому что умножение на 20 проще, чем на 19.
Деление можно упростить, если делимое представить как сумму или разность чисел, которые делятся на делитель. Тогда каждую часть делят отдельно и складывают или вычитают частные. Например, 936 удобно разложить на 900 и 36, поскольку оба числа делятся на 9. Иногда проще сократить общие множители в делимом и делителе: это не меняет частное, если делитель не равен нулю.
После вычисления стоит проверить результат обратным действием или оценить его величину. При делении частное умножают на делитель: должно получиться исходное делимое. Оценка тоже помогает: если делят число около 900 на 9, ответ должен быть около 100, а не 10 или 1000. Такие проверки выявляют пропущенный ноль и ошибки в отдельных шагах.
| Ситуация | Как рассуждать | Пример |
|---|---|---|
| Умножение на круглое число | Умножить на часть без нулей, затем учесть нули. | 24 · 30 = 24 · 3 · 10 = 720 |
| Умножение на число, разложенное на сумму или разность | Умножить на каждую часть и сложить или вычесть произведения. | 19 · 6 = (20 − 1) · 6 = 120 − 6 = 114 |
| Деление суммы или разности на число | Разделить каждую часть, если она делится на делитель, затем сложить или вычесть частные. | 936 : 9 = (900 + 36) : 9 = 100 + 4 = 104 |
| Проверка результата деления | Умножить частное на делитель и сравнить с делимым. | 104 · 9 = 936 |
Сначала определи, какая строка подходит к выражению, и прочитай рассуждение до вычислений. Затем проверь, что все условия приёма выполнены: например, при делении по частям делятся оба слагаемых. Примеры показывают не только ответ, но и преобразование, которое к нему приводит.
В числе 30 есть один ноль, поэтому сначала выполним умножение на 3. После этого учтём, что исходный множитель в 10 раз больше числа 3. Так мы не усложняем основное умножение и сохраняем значение произведения.
Запишем 30 как 3 · 10. Это позволяет отделить умножение на ненулевую часть от учёта нуля. Получаем 24 · 30 = 24 · 3 · 10.
Вычислим произведение 24 · 3: это 72. Затем умножим 72 на 10, то есть добавим один ноль. Получится 720.
Ответ: 720. Проверим оценкой: 24 · 30 — это немного меньше, чем 25 · 30 = 750, поэтому 720 выглядит правдоподобно. Важно учесть ноль именно после умножения на 3.
Множитель 19 близок к круглому числу 20, а умножать на 20 удобно. Представим 19 как 20 − 1 и применим распределительное свойство. При вычитании единицы из множителя нужно вычесть из произведения ещё одно число 6.
Заменим 19 разностью: 19 · 6 = (20 − 1) · 6. Теперь умножение можно выполнить отдельно для каждой части разности. По распределительному свойству получаем 20 · 6 − 1 · 6.
Посчитаем произведения: 20 · 6 = 120, а 1 · 6 = 6. Вычтем 6 из 120 и получим 114. Здесь нельзя забыть вычесть второе произведение.
Ответ: 114. Проверим обратным разложением: 114 = 120 − 6, то есть результат соответствует вычислению 20 · 6 − 1 · 6. Кроме того, 19 · 6 должно быть немного меньше, чем 20 · 6 = 120, и 114 этому условию подходит.
Нужно подобрать разложение числа 936 на части, которые делятся на 9. Числа 900 и 36 подходят: 900 : 9 и 36 : 9 легко вычислить. По свойству деления суммы каждую часть можно разделить отдельно, если обе делятся на делитель.
Разложим делимое: 936 = 900 + 36. Тогда 936 : 9 = (900 + 36) : 9. Проверим условие: 900 делится на 9, и 36 тоже делится на 9.
Разделим слагаемые: 900 : 9 = 100, а 36 : 9 = 4. Сложим частные: 100 + 4 = 104. Значит, частное равно 104.
Проверим умножением: 104 · 9 = (100 + 4) · 9 = 900 + 36 = 936. Получили исходное делимое, поэтому вычисление верно. Ответ: 104.
При умножении на круглое число иногда забывают ноль или приписывают лишний. Это происходит, если нули учитывают до основного умножения и теряют разряд. Сначала умножь на число без нулей, затем проверь результат оценкой: 24 · 30 должно быть около 720, а не 72.
При разложении множителя можно умножить только на одно слагаемое или вычитаемое. Так бывает, когда распределительное свойство вспоминают не полностью. Запиши произведение в скобках и раскрой их: при сумме умножь на каждую часть и сложи результаты, при разности вычти второе произведение.
При делении суммы иногда делят только одно слагаемое или применяют деление по частям, хотя одно из слагаемых не делится на делитель. Ошибку допускают, потому что правило переносят на выражение, не проверив его условие. Проверь делимость каждой части отдельно; если она не подходит, выбери другое разложение и затем проверь частное умножением.
Если не проверять результат, можно не заметить ошибку в вычислении или порядке ответа. Часто число кажется правдоподобным, и этим ограничиваются. Умножь частное на делитель и сравни с делимым, а также оцени, какого размера должен быть ответ. Несовпадение или неподходящий порядок величины показывает, что нужно пересчитать.
Для устных вычислений нужны таблица умножения и деления, разрядный состав натуральных чисел и свойства арифметических действий. Без знания разрядов трудно верно учесть нули, а без распределительного свойства — разложить множитель. Умение выбирать удобные преобразования пригодится при вычислениях с натуральными числами и оценке ответов. Позже те же рассуждения помогут готовиться к действиям с дробями.
Как понять, какой устный приём выбрать?
Посмотри на числа: есть ли среди них круглое число, множитель рядом с круглым или делимое, которое удобно разложить на слагаемые. Выбирай преобразование, после которого вычисления станут проще, и проверь, что оно сохраняет значение выражения.
Почему при умножении на круглое число нули учитывают в конце?
Ноль в конце числа показывает, что оно в несколько раз больше числа без этого нуля: например, 30 — это 3 десятка. Поэтому сначала умножают на 3, а затем учитывают, что результат должен быть в 10 раз больше.
Можно ли умножать число на сумму по частям?
Да, по распределительному свойству a(b + c) = ab + ac. Нужно умножить число на каждое слагаемое, а полученные произведения сложить; при разности второе произведение вычитают.
Когда сумму можно разделить на число по слагаемым?
Когда каждое слагаемое делится на делитель без остатка. Тогда сумму делят на это число по частям и складывают частные.
Как проверить результат устного деления?
Умножь частное на делитель: должно получиться делимое. Если деление было с остатком, проверь, что делитель, умноженный на частное, плюс остаток равен делимому, а остаток меньше делителя.
Урок 6.Устные приёмы умножения и деления
