Урок 11.Умножение и деление на 10, 100, 1000, 10 000 и 100 000

Определения и обозначения

Разряд числа — место цифры в записи, которое показывает, сколько единиц, десятков, сотен или более крупных разрядных единиц она обозначает. Например, в числе 438 цифра 4 обозначает четыре сотни, 3 — три десятка, а 8 — восемь единиц. Разрядный состав помогает понять, как меняется число при умножении и делении. Благодаря ему можно объяснить вычисления, а не просто запомнить правило.

Умножение натурального числа на 10, 100, 1000 и другие числа, записанные единицей с нулями, изменяет разрядный состав числа. При умножении на 10 каждая цифра обозначает количество единиц разряда в десять раз крупнее, при умножении на 100 — в сто раз крупнее. В записи натурального числа справа поэтому появляются нули. Это правило удобно для быстрых вычислений без письменного умножения.

Деление натурального числа на 10, 100, 1000 и другие степени десяти уменьшает разрядные значения цифр. Результат будет натуральным числом, если делимое делится на делитель без остатка; например, для деления на 100 в конце числа должны стоять два нуля. Тогда эти нули можно отбросить. Проверка условия нужна, чтобы не получить ошибочное целое частное.

Кратное 10, 100, 1000 и т. д. число — это число, которое делится на соответствующую степень десяти без остатка. По записи легко определить такие числа: кратное 10 оканчивается одним нулём, кратное 100 — двумя, кратное 1000 — тремя. Это позволяет быстро решать, можно ли выполнить деление нацело. Например, 35 400 кратно 100, но не кратно 1000.

Как это устроено

При умножении на 10 каждая цифра переходит на один разряд выше: единицы становятся десятками, десятки — сотнями и так далее. Причина в том, что значение каждого следующего разряда в десять раз больше предыдущего. Например, в числе 438 цифра 4 означает 4 сотни, а после умножения на 10 она обозначает 4 тысячи. Поэтому всё число становится в десять раз больше.

При умножении на 100 цифры переходят на два разряда выше, а при умножении на 1000 — на три. Каждый ноль в множителе означает ещё один такой переход, поскольку умножение на 100 можно представить как два последовательных умножения на 10. В записи натурального числа свободные разряды справа заполняются нулями: 438 · 100 = 43 800. Так число нулей в результате соответствует числу разрядных переходов.

При делении на 10, 100 или 1000 цифры переходят в разряды ниже, потому что значение каждой цифры уменьшается соответственно в 10, 100 или 1000 раз. Если деление выполняется нацело, в записи делимого справа стоят нули, которые можно убрать: при делении на 100 убирают два последних нуля. Например, 72 000 : 100 = 720. Если нужных нулей в конце нет, такое деление не будет нацело, хотя частное можно выразить дробью или найти с остатком.

Чтобы деление на степень десяти было нацело, делимое должно оканчиваться соответствующим количеством нулей. Для деления на 10 нужен один ноль, на 100 — два, на 1000 — три; это следует из разрядного состава и равносильно делимости на соответствующее число. Нули проверяют именно в конце записи, а не в середине. Например, 35 040 не делится на 100 нацело: две последние цифры — 40.

Умножение и деление на одно и то же число взаимно проверяют друг друга, потому что это обратные действия. Если частное умножить на делитель, должно получиться делимое; если произведение разделить на один из множителей, получится другой множитель. Например, равенство 72 000 : 100 = 720 подтверждается вычислением 720 · 100 = 72 000. Такая проверка помогает заметить ошибку в количестве отброшенных нулей.

Умножение и деление на степени десяти

В столбце деления нацело сначала проверьте, достаточно ли нулей в конце делимого, а затем уберите ровно столько нулей, сколько их в делителе. Примеры показывают, что отсутствие нужного количества нулей означает, что частное не будет натуральным. При умножении ориентируйтесь на количество нулей множителя.

Разбор задач

Вычислить 438 · 10 и 438 · 100

Сначала определим, на сколько разрядов переместятся цифры: умножение на 10 сдвигает их на один разряд, а на 100 — на два. Поэтому во втором результате справа будет на один ноль больше, чем в первом. Запишем вычисления и проверим, что оба результата больше исходного числа.

1. 438 · 10 = 4380: приписываем один ноль.
2. 438 · 100 = 43 800: приписываем два нуля.

Ответ: 4380 и 43 800.

Вычислить 72 000 : 100 и проверить результат умножением

При делении на 100 нужно убрать две последние цифры, но сделать это можно только при наличии двух нулей в конце. У числа 72 000 они есть, значит, деление выполняется нацело. После вычисления умножим частное на 100 и сравним результат с делимым.

1. 72 000 оканчивается двумя нулями, значит, делится на 100 нацело.
2. Убираем два последних нуля: 72 000 : 100 = 720.
3. Проверяем: 720 · 100 = 72 000.

Ответ: 720.

Выбрать числа, делящиеся на 100 нацело, и вычислить частные

Для деления на 100 проверяем две последние цифры каждого числа. Если обе цифры — нули, число делится на 100 без остатка; если нет, нацело разделить нельзя. Затем для подходящих чисел отбрасываем ровно два нуля и проверяем вычисления умножением.

1. 35 000 оканчивается двумя нулями, поэтому 35 000 : 100 = 350.
2. 35 400 тоже оканчивается двумя нулями, поэтому 35 400 : 100 = 354.
3. 35 040 оканчивается цифрами 40, поэтому на 100 нацело не делится.
4. Проверяем: 350 · 100 = 35 000, а 354 · 100 = 35 400.

Ответ: делятся на 100 числа 35 000 и 35 400; частные равны 350 и 354.

Типичные ошибки

При умножении на 100 или 1000 иногда приписывают только один ноль. Так происходит, если забыть, что каждый ноль множителя соответствует одному переходу цифр на разряд выше. Проверьте число переходов: на 100 их два, на 1000 — три, а результат должен быть больше исходного числа.

При делении на 100 можно убрать только один ноль или случайно отбросить все нули подряд. Причина ошибки — невнимание к количеству нулей в делителе и к их положению в делимом. Отбрасывайте ровно две последние цифры и убедитесь, что это нули; затем проверьте частное умножением.

Ошибочно считать, что любое число делится на 100 или 1000 нацело. Для деления на 100 нужны два нуля в конце, для деления на 1000 — три; нули внутри числа не подходят. Перед вычислением смотрите на последние цифры, а после — умножьте частное на делитель: произведение должно совпасть с делимым.

Ещё одна ошибка — перепутать направление изменения разрядов: при делении получить число больше делимого или при умножении — меньше. Такое случается, если забыть, какое действие увеличивает число, а какое уменьшает. Сравните ответ с исходным числом: при умножении на число больше единицы он должен возрасти, при делении — уменьшиться.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать названия разрядов натурального числа и понимать значение каждой цифры в своей позиции. Также важно уметь умножать и делить натуральные числа и проверять действие обратным действием. Эти правила пригодятся для устных вычислений и преобразования единиц измерения, например метров в сантиметры. Позже разрядные переходы помогут при работе с десятичными дробями.

Что запомнить

• При умножении натурального числа на 10, 100, 1000 и т. д. справа приписывают столько нулей, сколько их в множителе.
• Умножение на 10, 100, 1000 и т. д. сдвигает цифры числа в более высокие разряды.
• При делении на 10, 100, 1000 и т. д. нацело отбрасывают столько последних нулей, сколько их в делителе.
• Для деления на 10, 100 или 1000 без остатка число должно оканчиваться соответственно одним, двумя или тремя нулями.
• Результат деления можно проверить умножением частного на делитель.
• При умножении число увеличивается, а при делении на число, большее единицы, уменьшается.