Урок 10.Умножение многозначного числа на однозначное число (письменные вычисления)

Определения и обозначения

Многозначное число — число, записанное несколькими цифрами: например, в числе 243 цифры обозначают 2 сотни, 4 десятка и 3 единицы. При умножении такого числа на однозначное множитель можно умножить отдельно на каждое разрядное слагаемое, а результаты сложить. Это объясняет, почему при вычислении важно сохранять место каждой цифры.

Письменное умножение — способ записи вычисления столбиком, при котором разряды перемножают последовательно. Столбик помогает видеть, к какому разряду относится каждая цифра, и не смешивать единицы, десятки и сотни. Такая запись особенно полезна, когда произведение в одном разряде оказывается двузначным.

Перенос единиц в следующий разряд — переход десятков, сотен и других групп единиц, полученных при умножении, в более старший разряд. Например, 32 единицы — это 3 десятка и 2 единицы: двойку записывают в разряд единиц, а три десятка переносят к десяткам. Перенос нужен, чтобы разложить произведение по разрядам без потери его значения.

Как это устроено

Многозначное число можно представить суммой разрядных слагаемых: 243 = 200 + 40 + 3. По распределительному свойству умножения каждое слагаемое умножают на один и тот же множитель: 243 × 2 = 200 × 2 + 40 × 2 + 3 × 2. Так видно, что умножение всего числа состоит из умножений его разрядов, а затем результаты складываются. Столбик позволяет выполнить эти действия кратко, не записывая каждый разряд отдельной строкой.

Вычисления начинают с единиц и двигаются влево, к десяткам, сотням и далее. Причина в том, что при умножении единиц может появиться перенос в разряд десятков. Если сначала умножить десятки, придётся вернуться к ним и прибавить этот перенос. Двигаясь справа налево, мы сразу учитываем перенос в том разряде, к которому он относится.

При записи в столбик многозначное число пишут сверху, однозначный множитель — под ним, выравнивая числа по правому краю. Значит, единицы стоят под единицами, и так же совпадают все остальные разряды. Затем умножают цифры верхнего числа на множитель, начиная с крайней правой цифры. Такая запись помогает не перепутать порядок цифр в ответе.

Если произведение разрядной цифры на множитель больше 9, оно содержит не только единицы текущего разряда, но и группы для следующего. В текущей позиции записывают лишь цифру единиц произведения, а десятки запоминают как перенос. При умножении следующей цифры перенос прибавляют к полученному произведению, а не записывают отдельно в ответе. Так разрядный состав результата остаётся правильным.

Нули внутри многозначного числа не отменяют соседние разряды и не позволяют пропустить вычисление. Например, при умножении нуля на множитель произведение равно нулю, но к нему всё равно нужно прибавить перенос из предыдущего разряда. Получившееся число может дать цифру в нулевом разряде и новый перенос дальше. Если перепрыгнуть через ноль, цифры результата окажутся не на своих местах.

Письменное умножение многозначного числа на однозначное

Используйте таблицу сверху вниз: сначала проверьте расположение множителей, затем переходите от единиц к старшим разрядам. После каждого шага отделяйте цифру, которая остаётся в текущем разряде, от десятков для переноса. В конце проверьте, что не осталось неучтённого переноса.

Разбор задач

Вычислить 243 × 2 письменно

Здесь произведение каждой цифры на 2 не превышает 9, поэтому переносы не понадобятся. Чтобы проверить столбик, можно представить умножение как сложение двух одинаковых слагаемых. Запишем множители друг под другом и будем двигаться от единиц влево.

1. Единицы: 3 × 2 = 6, записываем 6 в разряд единиц.
2. Десятки: 4 × 2 = 8, записываем 8 в разряд десятков.
3. Сотни: 2 × 2 = 4, записываем 4 в разряд сотен.
4. Получаем 486. Проверка сложением: 243 + 243 = 486.

Ответ: 486.

Вычислить 368 × 4 письменно

Начинаем с единиц, потому что здесь сразу появится перенос: 8 × 4 больше 9. В каждом разряде оставляем последнюю цифру произведения, а десятки присоединяем к следующему вычислению. Так не приходится складывать длинные промежуточные результаты отдельно.

1. Единицы: 8 × 4 = 32. Записываем 2, а 3 десятка переносим к разряду десятков.
2. Десятки: 6 × 4 = 24; прибавляем перенос 3 и получаем 27. Записываем 7, переносим 2 сотни.
3. Сотни: 3 × 4 = 12; прибавляем перенос 2 и получаем 14. Записываем 14 в старших разрядах.
4. Собираем цифры результата: 1 тысяча, 4 сотни, 7 десятков и 2 единицы.

Ответ: 1472.

Вычислить 507 × 6 письменно

В числе 507 между сотнями и единицами стоит ноль, поэтому нужно сохранить его место. После умножения единиц появится перенос в разряд десятков, а ноль в этом разряде нельзя просто пропустить. Проверим результат оценкой: 507 близко к 500, значит произведение должно быть близко к 3000.

1. Единицы: 7 × 6 = 42. Записываем 2, переносим 4 десятка.
2. Десятки: 0 × 6 + 4 = 4. Записываем 4 в разряд десятков; переноса дальше нет.
3. Сотни: 5 × 6 = 30. Записываем 30 в старшие разряды и получаем 3042.
4. Проверяем прикидкой: 500 × 6 = 3000, а 3042 немного больше, как и должно быть. Обратная проверка: 3042 ÷ 6 = 507.

Ответ: 3042.

Типичные ошибки

Вычисления слева направо. Так делают, когда читают число привычным образом, но забывают, что перенос из единиц относится к десяткам. Начинайте с крайней правой цифры. Проверка: убедитесь, что первым выполнено умножение единиц.

Запись всего двузначного произведения в текущем разряде. Например, результат 32 нельзя целиком поставить в разряд единиц: цифры окажутся не на своих местах. Оставляйте в текущем разряде только единицы, а десятки переносите. Проверьте, что в каждой позиции ответа записана одна цифра.

Потеря переноса. Если десятки из предыдущего шага не прибавить, результат станет меньше правильного. Перенос может быть небольшим и легко забыться, пока внимание переключается на следующую цифру. Записывайте или отмечайте его над следующим разрядом и перед умножением проверяйте, учтён ли он.

Пропуск нулевого разряда или неверный перенос через него. Ноль умножают на множитель, а к произведению прибавляют перенос, если он есть. Пропуск сдвигает цифры и меняет значение результата. Проверьте, что каждый разряд исходного числа обработан, включая нулевой.

Связь с другими темами

Для письменного умножения нужны знание таблицы умножения и понимание разрядного состава числа. Важно также уметь складывать единицы одного разряда: именно так перенос становится частью следующего произведения. Если эти навыки отработаны, алгоритм можно выполнять последовательно и без догадок.

Тот же способ вычислений пригодится при умножении многозначных чисел друг на друга: там тоже учитывают разряды и переносы. Алгоритм помогает считать величины и денежные суммы, когда каждую величину нужно увеличить в несколько раз. Умение оценить ответ и выполнить обратное действие полезно для проверки таких вычислений.

Что запомнить

• Многозначное число умножают на однозначное поразрядно.
• В столбик вычисления ведут от единиц к старшим разрядам.
• Цифру единиц произведения записывают в текущем разряде.
• Десятки произведения переносят в следующий разряд.
• Перенос прибавляют к результату умножения следующего разряда.
• Нулевой разряд нельзя пропускать при учёте разрядов и переносов.