"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В., Разумовский В.А. и др.
Письменное умножение помогает находить произведение многозначного числа и однозначного множителя, не путая разряды. Числа записывают столбиком и умножают поразрядно, начиная с единиц. Если при умножении получаются десятки, их переносят к следующему разряду и прибавляют к его результату. Ноль в записи множимого сохраняют, чтобы цифры произведения заняли правильные места. Ответ можно проверить прикидкой или делением.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Письменное умножение — способ вычислять произведение, записывая числа столбиком и выполняя действия поразрядно. Так удобнее работать с многозначными числами: цифры каждого разряда стоят друг под другом, а вычисления идут в установленном порядке. Запись столбиком помогает не потерять переносы и разряды. Её используют, когда устный счёт становится неудобным.
Множимое — число, которое умножают; в записи столбиком его обычно записывают сверху. Например, в выражении 243 · 2 множимое — 243, потому что именно это число берут два раза. Размещение множимого сверху помогает соотнести его цифры с единицами, десятками и сотнями. По его разрядам затем выполняют вычисления.
Множитель — число, на которое умножают; при умножении на однозначное число его записывают под множимым. В примере 243 · 2 множитель — 2: он показывает, во сколько раз или сколько раз берут множимое. Его выравнивают по разряду единиц множимого, чтобы ясно видеть, с какой цифрой работать. Однозначный множитель участвует в вычислении каждого разряда.
Произведение — результат умножения; в столбик его записывают под чертой. Например, в равенстве 243 · 2 = 486 число 486 является произведением. Черта отделяет исходные числа от результата и делает запись наглядной. По цифрам произведения можно проверить, верно ли сохранены разряды и учтены переносы.
Множитель ставят под разрядом единиц множимого, потому что он один и при умножении применяется к каждой цифре множимого. Такое расположение не означает, что перемножают только последние цифры: это удобный способ выровнять запись. Начинают с единиц, так как результат их умножения может дать десятки. Эти десятки нужно передать разряду десятков до того, как он будет вычислен.
Затем однозначный множитель по очереди умножают на цифру единиц, десятков, сотен и следующих разрядов. Цифра каждого разряда показывает количество единиц соответствующего разряда, поэтому вычисления выполняют справа налево. Например, умножение цифры 6 в числе 368 означает умножение шести десятков, а не просто числа 6 без учёта места. В столбике разряд сохраняется благодаря положению цифр.
Если произведение цифры разряда на множитель больше 9, результат делят на единицы и десятки. В текущем разряде записывают только цифру единиц, а десятки переносят к следующему вычислению. Это нужно потому, что десять единиц данного разряда составляют одну единицу следующего разряда: десять единиц — один десяток, десять десятков — одна сотня. Перенос прибавляют к произведению следующей цифры, а не записывают как отдельный разряд.
Если умножают цифру 0, промежуточное произведение тоже равно 0. Поэтому в соответствующем разряде итогового числа записывают ноль, даже если рядом стоят другие цифры. Ноль показывает, что единиц этого разряда в произведении нет, и сохраняет правильное положение остальных цифр. Пропуск нуля изменил бы разрядный состав числа.
Проверка помогает обнаружить ошибку, но не заменяет аккуратного вычисления. Прикидка показывает, должен ли ответ быть примерно такого же размера: например, 507 близко к 500, поэтому произведение на 6 должно быть около 3000. Если деление доступно, произведение делят на множитель и проверяют, получилось ли исходное множимое. Несовпадение означает, что стоит заново проверить переносы и запись цифр.
| Случай | Порядок действий | Что записать при переносе |
|---|---|---|
| Умножение без перехода через разряд | Умножать цифры множимого справа налево; записывать каждое полученное произведение в своём разряде. | Переноса нет, если каждое промежуточное произведение меньше 10. |
| Умножение с переходом через разряд | Начинать с единиц; записывать единицы промежуточного произведения и прибавлять перенос к следующему вычислению. | Десятки промежуточного произведения переносят в следующий разряд. |
| Умножение числа, в записи которого есть ноль | Продолжать вычисления по порядку, не пропуская разряд с нулём. | При умножении нуля записать ноль в этом разряде; перенос из предыдущего шага также учесть. |
Сначала определите, есть ли переход через разряд: для этого посмотрите, может ли произведение каждой цифры на множитель оказаться двузначным. Затем двигайтесь справа налево и проверяйте, что перенесённые десятки прибавлены к следующему действию. Если в множимом есть ноль, оставьте его разряд в записи ответа.
Здесь множитель равен 2, а в каждом разряде промежуточное произведение меньше 10. Значит, переносов не будет, и цифры результата можно записать непосредственно по разрядам. Всё равно начинаем с единиц, чтобы соблюдать общий порядок письменного умножения.
Запишем 243 сверху, а 2 — под цифрой единиц. Умножим единицы: 3 · 2 = 6. В разряде единиц результата запишем 6, переносить нечего.
Перейдём к десяткам и умножим 4 · 2 = 8. Запишем 8 в разряде десятков; цифра 4 в исходном числе означает четыре десятка. Переноса по-прежнему нет.
Умножим сотни: 2 · 2 = 4. Запишем 4 в разряде сотен перед уже полученными цифрами. Читаем произведение слева направо: 486.
Ответ: 243 · 2 = 486. Результат разумен: число 243 удвоили, поэтому ответ должен быть больше 243, но меньше 500. Кроме того, в каждом разряде мы получили ровно одну цифру и не делали переносов. Это подтверждает, что разряды записаны верно.
В этом примере появятся переносы, поэтому важно учитывать их сразу в следующем разряде. Начинаем с единиц и каждый раз отделяем единицы промежуточного произведения от десятков. Перенос записываем над следующим разрядом, чтобы не забыть прибавить его.
Умножим единицы: 8 · 4 = 32. В разряде единиц запишем 2, а 3 десятка перенесём к вычислению десятков. Это не отдельные три в ответе: они станут частью следующего промежуточного результата.
Умножим цифру десятков: 6 · 4 = 24, затем прибавим перенос 3. Получим 27, запишем 7 в разряде десятков, а 2 сотни перенесём к разряду сотен. Перенос здесь равен двум сотням, потому что вычислялся разряд десятков.
Умножим сотни и учтём перенос: 3 · 4 + 2 = 14. Запишем 14 перед цифрами 7 и 2, получив число 1472. Здесь 1 становится цифрой тысяч, а 4 — цифрой сотен.
Ответ: 368 · 4 = 1472. Проверим прикидкой: 368 близко к 400, а 400 · 4 = 1600, поэтому результат около 1500 выглядит правдоподобно. Если не прибавить хотя бы один перенос, ответ будет меньше правильного. Поэтому полезно сверить каждое промежуточное действие.
В числе 507 между сотнями и единицами стоит ноль, и его нельзя пропустить. Умножение единиц даст перенос, который попадёт в разряд десятков. В этом разряде нужно одновременно учесть перенос и записать ноль, соответствующий нулю в множимом.
Умножим единицы: 7 · 6 = 42. Запишем 2 в разряде единиц, а 4 десятка перенесём к следующему вычислению. На этом шаге полученные десятки относятся к разряду десятков.
Умножим десятки: 0 · 6 = 0, затем прибавим перенесённые 4 десятка. Получим 4 десятка, поэтому запишем 4 в разряде десятков. Ноль множимого учтён: он не означает, что нужно стереть перенос.
Умножим сотни: 5 · 6 = 30. Запишем полученное число слева от цифр 4 и 2. Итоговая запись читается как 3042, где ноль сохраняет разряд сотен.
Ответ: 507 · 6 = 3042. Для прикидки заменим 507 на 500: 500 · 6 = 3000, значит, точный результат должен быть немного больше. Ответ 3042 подходит к этой оценке. Если бы ноль пропустили, положение цифр и значение числа изменились бы.
Начинают умножение со старшего разряда. Так поступают, перенося привычку читать число слева направо, но переносы возникают со стороны единиц и должны быть известны до вычисления следующего разряда. Начинайте справа и сверяйте, что первым обработан разряд единиц.
Забывают прибавить перенос к следующему разряду. Это происходит, когда перенесённую цифру записали над столбиком, но затем не включили в вычисление. Проверяйте каждый шаг: к произведению следующей цифры нужно прибавить все десятки, пришедшие справа.
Записывают всё двузначное произведение в текущем разряде. В этом случае цифры сдвигаются, потому что десятки промежуточного результата относятся уже к следующему разряду. Оставляйте в текущем разряде только единицы, а десятки переносите; в каждом столбце ответа должна стоять соответствующая разрядная цифра.
Пропускают ноль в множимом. Ноль может показаться ненужным, если при его умножении не получается обычного ненулевого произведения, но он обозначает пустой разряд. Умножьте ноль и при необходимости прибавьте перенос, затем запишите цифру в нужном месте. Сравните число с прикидкой: сдвиг разрядов часто заметно меняет его величину.
Для письменного умножения нужны таблица умножения, названия разрядов и понимание разрядного состава многозначного числа. Если известно, что цифра 6 в числе 368 означает шесть десятков, становится понятнее, почему перенос из единиц прибавляют именно к десяткам. Приём продолжает изучение умножения и подготавливает к вычислениям с более крупными числами. Он пригодится в задачах на общее количество предметов и при вычислениях с величинами: сначала определяют, сколько единиц содержится в одной группе, затем находят количество в нескольких одинаковых группах.
Почему при умножении столбиком начинают с единиц?
При вычислении единиц сразу видно, сколько десятков нужно перенести в следующий разряд. Так перенос можно прибавить к результату умножения десятков, не нарушая разрядный порядок. Если начинать со старшего разряда, переносы будет сложнее записать правильно.
Куда записывать десятки, которые получились при умножении разряда?
В текущем разряде записывают только единицы полученного произведения. Его десятки переносят к следующему разряду, обычно записывая небольшую цифру над ним. В конце перенесённые десятки учитывают при вычислении следующего разряда.
Нужно ли прибавлять перенос к результату следующего разряда?
Да, перенос обязательно прибавляют к произведению следующего разряда. Например, при умножении десятков сначала находят их произведение на множитель, а затем добавляют десятки, перенесённые из единиц. Если забыть перенос, результат получится меньше правильного.
Что делать, если в множимом есть ноль?
Ноль нужно умножить на множитель и записать ноль в соответствующем разряде результата. Он обозначает, что в этом разряде произведения нет единиц. Если пропустить ноль, цифры сдвинутся и число будет записано неверно.
Как проверить результат письменного умножения?
Сначала оцените ответ прикидкой: округлите множимое и сравните примерное произведение с полученным. Если деление доступно, разделите произведение на множитель — должно получиться множимое. Проверка помогает заметить ошибку в вычислениях или в записи разрядов.
Урок 11.Умножение на однозначное число (письменные вычисления)
