Урок 10.Виды углов

Определения и обозначения

Острый угол — угол, градусная мера которого меньше 90°. Например, углы в 25° и 70° острые: каждый из них меньше прямого угла. Это определение помогает быстро распознать угол, который раскрыт уже, чем прямой.

Прямой угол — угол, градусная мера которого равна 90°. Его стороны перпендикулярны, то есть пересекаются под прямым углом. Это понятие нужно, чтобы задавать точную границу между острыми и тупыми углами и описывать взаимное положение прямых.

Тупой угол — угол, градусная мера которого больше 90°, но меньше 180°. Например, 110° и 150° — тупые углы: они шире прямого, но не составляют развёрнутый. Такое определение помогает отличать тупой угол от прямого и развёрнутого по точным границам.

Развёрнутый угол — угол, градусная мера которого равна 180°; его стороны — противоположные лучи. Такие лучи имеют общее начало и направлены в разные стороны по одной прямой. Это определение позволяет узнать угол, раскрытый до прямой линии, и использовать его как верхнюю границу для тупых углов.

Как это устроено

Углы различают по градусной мере: она показывает, насколько повернута одна сторона относительно другой. Для сравнения удобно пользоваться двумя опорными значениями — 90° и 180°. Первое соответствует прямому углу, второе — развёрнутому, поэтому любой угол до 180° можно определить, сопоставив его с этими ориентирами.

У прямого угла стороны перпендикулярны: при пересечении они образуют четыре равных угла, каждый по 90°. Два соседних прямых угла вместе составляют 180°, поэтому прямой угол можно представить как половину развёрнутого. В рисунке это помогает узнать прямой угол по форме, но для точного измерения можно использовать транспортир.

Если мера меньше 90°, угол не достигает прямого и называется острым. Если мера больше 90°, он шире прямого; когда при этом она ещё меньше 180°, угол тупой. Границы здесь строгие: ровно 90° — это не острый и не тупой угол, а ровно 180° — не тупой, а развёрнутый.

Чтобы определить вид угла по транспортиру, сначала считайте его градусную меру. Затем сравните число с 90° и 180°: например, 127° больше 90° и меньше 180°, значит, угол тупой. При измерении проверьте, что центр транспортира находится в вершине угла, а его нулевая отметка совмещена с одной из сторон.

Вид угла не зависит от длины его сторон. Если продолжить оба луча, сохранив их направления, угол между ними останется прежним, хотя рисунок станет крупнее. Поэтому классифицируют угол по градусной мере, а не по длине лучей, величине изображения или расстоянию между концами сторон.

Виды углов и их градусные меры

Пользуйтесь таблицей как последовательностью проверок: сначала сравните меру с 90°, затем — с 180°. Если число совпало с границей, выберите отдельный вид — прямой или развёрнутый. Для тупого угла должны одновременно выполняться оба неравенства: он больше 90° и меньше 180°.

Разбор задач

Задача 1. Определите вид угла, градусная мера которого равна 42°. Нужно сопоставить число с границей 90°, которая отделяет острые углы от прямого. Не требуется строить угол, если его мера уже дана: достаточно проверить условие определения.

1. Записываем меру: 42°.
2. Сравниваем её с 90°: 42° < 90°.
3. По определению угол с мерой меньше 90° является острым.

Ответ: угол острый.

Задача 2. Угол ABC измерен транспортиром и равен 127°. Определите его вид и назовите границы, между которыми лежит его мера. Показание транспортира уже даёт нужное число, поэтому сначала сравним его с опорными значениями. Для тупого угла должны выполняться два строгих неравенства.

1. Записываем меру угла ABC: 127°.
2. Проверяем границы: 90° < 127° и 127° < 180°.
3. Значит, мера находится между 90° и 180°, а такой угол называется тупым.

Ответ: угол ABC тупой; 90° < 127° < 180°.

Задача 3. Один угол на 30° больше прямого, а другой на 30° меньше развёрнутого. Найдите их меры и определите виды. Здесь сначала нужно перевести словесные условия в действия с известными мерами 90° и 180°. После вычислений проверим каждое число по границам видов углов.

1. Первый угол: 90° + 30° = 120°.
2. Второй угол: 180° − 30° = 150°.
3. Оба числа больше 90° и меньше 180°, поэтому оба угла тупые.

Ответ: 120° и 150°; оба угла тупые.

Типичные ошибки

Угол в 90° иногда называют острым или тупым, забывая, что прямой угол выделен в отдельный вид. Путаница возникает, если считать границу частью одного из промежутков. Проверьте знак: ни 90° < 90°, ни 90° > 90° неверно, поэтому мера 90° соответствует равенству и прямому углу.

Угол в 180° могут ошибочно считать тупым, потому что он шире прямого. Но тупой угол должен быть строго меньше 180°, а при равенстве получается развёрнутый угол. Проверка проста: если стороны — противоположные лучи и мера ровно 180°, ответ «развёрнутый».

Можно перепутать границы и отнести 90° к тупым, а 180° — к острым. Так происходит, когда забывают, что слова «больше» и «меньше» задают строгие неравенства, а равенство выделяется отдельно. Для самопроверки подставьте число в определение: тупой угол обязан удовлетворять 90° < α < 180°.

Не определяйте вид только по длине сторон или общему размеру изображения: чертёж может быть выполнен не в масштабе, а лучи можно удлинить без изменения меры угла. Такая ошибка возникает, когда видимую ширину принимают за точное измерение. Проверяйте себя по заданной мере, отметке прямого угла или транспортиру, а не по длине лучей.

Связь с другими темами

Для работы с видами углов нужно знать, что такое угол, где находятся его вершина и стороны, и уметь измерять угол транспортиром. Если эти понятия забылись, сначала найдите общее начало лучей, а затем вспомните, как совмещать транспортир со сторонами. После этого классификация сводится к сравнению измеренной меры с 90° и 180°.

Виды углов пригодятся при изучении перпендикулярных прямых: такие прямые образуют прямые углы. Они также помогут разбирать смежные и вертикальные углы, находить неизвестные меры и проверять чертежи. Узнавание прямого и развёрнутого углов даёт опорные значения для этих задач.

Что запомнить

• Острый угол меньше 90°.
• Прямой угол равен 90°.
• Тупой угол больше 90°, но меньше 180°.
• Развёрнутый угол равен 180°.
• Ровно 90° — это прямой угол, а ровно 180° — развёрнутый.
• Вид угла определяется его градусной мерой, а не длиной сторон.