"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В., Разумовский В.А. и др.
Угол образуют два луча, выходящие из одной точки; эта точка называется вершиной. Углы встречаются в геометрических фигурах, поэтому их нужно уметь измерять, обозначать и сравнивать. По градусной мере углы делят на острые, прямые, тупые и развернутые. Главные ориентиры — 90° и 180°: острый угол меньше 90°, прямой равен 90°, тупой находится между 90° и 180°, а развернутый равен 180°.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Угол — фигура, образованная двумя лучами с общей начальной точкой. Эта общая точка называется вершиной, а лучи — сторонами угла. Например, у угла ABC вершина B, а стороны проходят через точки A и C. Такое определение помогает точно описывать углы и отличать их от других фигур.
Острый угол — угол, градусная мера которого меньше 90°. Значит, он раскрыт уже, чем прямой угол. Это название удобно, чтобы сразу отнести угол к определённому виду и сравнивать его с другими углами.
Прямой угол — угол, градусная мера которого равна 90°. Его стороны перпендикулярны друг другу, то есть при пересечении образуют четыре равных угла. Прямой угол используют как образец: с ним можно сравнить угол на чертеже или проверить, правильно ли выполнено построение.
Тупой угол больше 90°, но меньше 180°, а развернутый угол равен 180°. У тупого угла раскрытие шире прямого, но стороны ещё не образуют одну прямую. Эти определения позволяют различать углы, которые больше прямого, и не путать тупой угол с развернутым.
Стороны угла — лучи, потому что каждая сторона начинается в общей точке и продолжается в одном направлении. Если представить две полупрямые с одним началом, их взаимное направление и задаёт угол. Общую начальную точку называют вершиной: от неё отходят обе стороны, поэтому она служит точным местом, где угол образуется. Такое описание не зависит от длины нарисованных лучей.
Градусная мера показывает, насколько одна сторона угла повернута относительно другой. Чем больше поворот, тем больше угол; поэтому по числу градусов можно сравнить углы, даже если их нарисовали в разном масштабе. Для измерения используют транспортир: его центр ставят на вершину, а нулевую отметку совмещают с одной стороной. Значение считывают на той части шкалы, которую пересекает вторая сторона, начиная от нуля у первой стороны.
Прямой угол служит образцом, потому что его величина точно равна 90° и легко проверяется. Если угол меньше такого образца, он острый; если больше — нужно выяснить, не достиг ли он 180°. Прямой угол также можно узнать по перпендикулярным сторонам. Сравнение с ним помогает оценить вид угла на глаз, но точную меру при необходимости проверяют транспортиром.
Чтобы определить вид угла по градусной мере, сравни её сначала с 90°, а затем, если нужно, со 180°. Мера меньше 90° означает острый угол, ровно 90° — прямой. Если число больше 90°, но меньше 180°, угол тупой; ровно 180° — развернутый. Границы важны: значения 90° и 180° относятся к отдельным видам и не входят в промежутки для острых и тупых углов.
Угол часто обозначают тремя буквами, например ∠MON. Буква вершины стоит в середине, потому что две другие буквы указывают на стороны, а средняя — на общую точку этих сторон. В записи ∠MON вершина — O, стороны проходят через M и N. Иногда используют одну букву вершины, но только если на чертеже понятно, какой именно угол имеется в виду.
| Вид угла | Условие | Градусная мера | Как распознать |
|---|---|---|---|
| Острый угол | Меньше прямого угла | Меньше 90° | Раскрытие меньше четверти полного оборота |
| Прямой угол | Равен прямому углу | 90° | Стороны перпендикулярны |
| Тупой угол | Больше прямого, но меньше развернутого | Больше 90°, но меньше 180° | Раскрытие шире прямого угла |
| Развернутый угол | Стороны являются противоположными лучами | 180° | Стороны лежат на одной прямой |
Сначала сравни угол с прямым, а затем проверь, не равен ли он развернутому. Если известна градусная мера, найди подходящее условие в таблице. Если угол дан на чертеже, оцени его раскрытие и при сомнении измерь транспортиром.
Задача 1. Определить вид угла ABC, если его градусная мера равна 38°. Нужно понять, по какую сторону от границы 90° находится данное число. Сравнение даст ответ без измерений, потому что мера угла уже известна. В записи ABC вершина — B, но для определения вида достаточно значения 38°.
Ответ: угол ABC — острый.
Задача 2. Луч OC делит угол AOB на два угла: 45° и 70°. Нужно определить вид всего угла AOB. Луч OC проходит внутри угла и разделяет его на две части, поэтому мера целого угла складывается из мер этих частей. После сложения сравним результат с 90° и 180°.
Ответ: угол AOB — тупой, его мера равна 115°.
Задача 3. Построить угол MON величиной 135°, обозначить стороны и вершину, затем определить его вид. Для построения нужно точно совместить центр транспортира с точкой O, а одну сторону угла провести по нулевой отметке. Так отсчёт будет идти от вершины и выбранной стороны, а не от случайного деления шкалы. После построения вид угла определим по сравнению его меры с 90° и 180°.
Ответ: построенный угол MON — тупой.
Иногда углом называют только область между двумя отрезками. Так происходит, когда на рисунке внимание сосредоточено на закрашенной части, но стороны угла по определению — лучи с общей начальной точкой. Проверь себя: можешь ли ты назвать вершину и продолжить каждую сторону в её направлении? Если стороны изображены лишь короткими отрезками, мысленно продолжи их как лучи.
Угол в 90° могут назвать острым или тупым, если сравнивают его на глаз и не учитывают границу. Острый угол должен быть строго меньше 90°, а тупой — строго больше. Проверь число: если мера точно равна 90°, это прямой угол, а не один из двух соседних видов. На чертеже прямой угол можно проверить угольником или измерить транспортиром.
Тупой угол путают с развернутым, потому что оба шире прямого. Различие в том, что тупой угол не достигает 180°, а развернутый равен 180° и его стороны лежат на одной прямой. Чтобы проверить себя, сопоставь меру с границами: при 90° < α < 180° угол тупой, при α = 180° — развернутый. Не делай вывод только по внешнему виду неточного рисунка.
При обозначении иногда ставят букву вершины не в середине или измеряют угол не от нуля транспортира. В первом случае запись может указать не на тот угол, во втором получится неверная мера. В обозначении из трёх букв проверь, что средняя буква совпадает с вершиной. При измерении совмести центр прибора с вершиной, а ноль — с одной стороной, затем отсчитывай шкалу от этой отметки.
Чтобы работать с углами, нужно знать, что такое луч, отрезок и прямая, а также понимать, как измеряют градусы. Навык работы с транспортиром помогает находить меру угла и строить угол заданной величины. Эти знания пригодятся при изучении перпендикулярных и параллельных прямых, треугольников и других многоугольников. Классификация углов помогает выполнять построения и решать задачи, в которых нужно найти неизвестные углы.
Чем угол отличается от области между двумя лучами?
Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами с общей начальной точкой. Область между лучами можно выделить, но она не заменяет саму фигуру: стороны угла — именно лучи.
Почему угол 90° не является ни острым, ни тупым?
Острый угол строго меньше 90°, а тупой строго больше 90°. Угол в 90° не подходит ни под одно из этих условий, поэтому его выделяют в отдельный вид — прямой.
Как отличить тупой угол от развернутого?
Тупой угол больше 90°, но меньше 180°. Развернутый угол равен ровно 180°, а его стороны являются противоположными лучами и лежат на одной прямой.
Можно ли назвать угол только одной буквой?
Иногда можно, если у вершины изображён только один угол и не возникает путаницы. Обычно угол обозначают тремя буквами, причём букву вершины ставят в середине записи.
От какой отметки транспортира нужно начинать измерение угла?
Центр транспортира совмещают с вершиной угла, а его нулевую отметку — с одной из сторон. Затем смотрят, где вторая сторона пересекает шкалу, и считывают значение от нуля, расположенного у выбранной стороны.
Урок 9.Виды углов
