Урок 13.Деление величины на число и на величину

Определения и обозначения

Деление величины на число — это разделение величины на указанное число равных частей. Чтобы найти размер одной части, числовое значение делят на это число, а единицу измерения сохраняют: 12 см : 3 = 4 см. Такой способ нужен, например, чтобы узнать длину каждой части отрезка.

Деление величины на величину — действие, в котором одну измеренную величину делят на другую. Если величины одного рода, частное показывает, сколько раз одна содержится в другой; если разных родов — сколько единиц одной приходится на единицу другой. Это различие помогает выбрать и правильно записать единицу ответа.

Именованное число — запись числового значения вместе с единицей измерения, например 12 см. Число 12 сообщает, сколько единиц взято, а «см» указывает, каких именно. Такая запись нужна, чтобы не путать численное значение с самой измеряемой величиной.

Единица измерения показывает, в каких единицах выражена величина: сантиметрах, метрах, часах и других. При делении важно учитывать единицы, потому что они определяют смысл и запись результата. Например, деление пути на время даёт не просто число, а скорость с единицей км/ч.

Как это устроено

Когда величину делят на натуральное число, её мысленно разбивают на равные части. Если отрезок длиной 24 см разделить на 4 одинаковые части, каждая будет в четыре раза короче исходного отрезка. Поэтому делят число 24 на 4, но сантиметры сохраняются: 24 см : 4 = 6 см. Единица не делится на число частей — она по-прежнему обозначает длину каждой части.

Величины одного рода сравнивают как однородные количества, поэтому перед делением их числовые значения должны относиться к одинаковым единицам. Иначе частное зависит от случайного выбора записи: метр и сантиметр — не равные числовые единицы. Переведя обе величины, например, в сантиметры, можно разделить их числовые значения; одинаковые единицы сокращаются. Поэтому частное оказывается числом без единицы и показывает отношение величин.

Если делят величины разных родов, единицы не сокращаются: они отвечают на разные вопросы. Например, путь, разделённый на время, показывает, какой путь приходится на один час. В записи км : ч получается км/ч — составная единица скорости. Порядок важен: единица делимого записывается первой, а единица делителя — после черты.

Проверка помогает убедиться не только в вычислении, но и в смысле ответа. При делении величины на число нужно умножить частное на делитель-число: полученная величина должна совпасть с исходной. При делении одной величины на другую умножают частное на делитель, сохраняя единицы. Например, (км/ч) · ч превращается в км, то есть снова получается путь.

Выбор единиц меняет числовую запись величин и может сделать вычисление неудобным, хотя сама величина остаётся той же. Поэтому перед делением стоит привести величины к согласованным единицам, а при необходимости выбрать более удобные. Например, 3 м легче сравнить с 450 см после перевода метров в сантиметры. Для величин разных родов также заранее определяют подходящие единицы, чтобы ответ имел понятный вид.

Деление величин: смысл и запись результата

Сначала найдите строку, соответствующую вашему действию: делите величину на число или одну величину на другую. Затем сверьте единицы результата и выполните проверку умножением. Если величины одного рода записаны в разных единицах, сначала приведите их к одинаковым.

Разбор задач

Задача 1. Отрезок длиной 24 см разделили на 4 равные части. Найдите длину одной части. Нужно распределить весь отрезок поровну, поэтому длина одной части равна четверти исходной длины. Поскольку делится величина на число, ответ должен быть выражен в сантиметрах.

1. Записываем действие: 24 см : 4.
2. Делим числовое значение: 24 : 4 = 6.
3. Сохраняем единицу длины: получаем 6 см.

Ответ: длина одной части — 6 см. Проверим умножением: 6 см · 4 = 24 см, то есть исходная длина восстановилась. Значит, и вычисление, и единица ответа подходят.

Задача 2. Найдите, сколько раз 3 м содержатся в 450 см. Здесь делят длины одного рода, поэтому частное должно показать число раз, а не новую длину. Сначала требуется выразить обе длины в одинаковых единицах, иначе нельзя сравнивать их числовые значения напрямую.

1. Переводим метры в сантиметры: 3 м = 300 см.
2. Делим величины в одинаковых единицах: 450 см : 300 см = 450 : 300 = 1,5.
3. Записываем результат без единицы, поскольку сантиметры сокращаются.

Ответ: 3 м содержатся в 450 см 1,5 раза. Проверка: 300 см · 1,5 = 450 см. Получилось исходное делимое, поэтому частное верно.

Задача 3. Автомобиль проехал 180 км за 3 ч. Найдите его среднюю скорость. Скорость показывает, какой путь приходится на единицу времени, поэтому нужно разделить путь на время. Поскольку километры и часы относятся к разным родам величин, единицы не сокращаются, а образуют км/ч.

1. Записываем деление пути на время: 180 км : 3 ч.
2. Делим числовые значения: 180 : 3 = 60.
3. Записываем единицы в том же порядке: получаем 60 км/ч.

Ответ: средняя скорость автомобиля — 60 км/ч. Проверка: 60 км/ч · 3 ч = 180 км, значит, за указанное время автомобиль проехал исходный путь. Единица часов сократилась, а километры восстановились.

Типичные ошибки

• Делить числовые значения величин одного рода без перевода в одинаковые единицы — значит сравнивать разные мерки. Так ошибаются, принимая метры за сантиметры или наоборот. Проверьте, что перед вычислением обе величины выражены, например, в сантиметрах.
• Убирать единицу при делении величины на число — неверно: делитель указывает количество частей, а не другую единицу измерения. Часто единицу пропускают, потому что сосредоточиваются только на числах. Умножьте ответ на делитель: восстановиться должна исходная величина вместе с её единицей.
• Записывать при делении разных родов величин ответ без составной единицы или в обратном порядке — значит менять смысл результата. Путь на время даёт скорость, а не время на путь; направление записи легко перепутать. Проверьте порядок по действию: сначала единица делимого, затем единица делителя, например км/ч.
• Считать любое частное величин безразмерным числом ошибочно: сокращаются только одинаковые единицы. Это заблуждение возникает, если запомнить правило для величин одного рода и перенести его на все случаи. Перед ответом сопоставьте единицы: км : км даст число, а км : ч — км/ч.

Связь с другими темами

Для вычислений нужны навыки деления натуральных и десятичных чисел, а также перевода величин между крупными и мелкими единицами. Деление величины на число помогает находить длину равной части или стоимость одной единицы товара. Деление величин разных родов используется при изучении скорости и производительности. В дальнейшем составные единицы позволят описывать, сколько работы выполняют за единицу времени или какой путь проходят за час.

Что запомнить

• При делении величины на число единица измерения сохраняется.
• Величины одного рода перед делением выражают в одинаковых единицах.
• Частное величин одного рода — число, показывающее, во сколько раз одна величина больше другой.
• Частное величин разных родов записывают с составной единицей.
• Порядок величин в частном определяет порядок единиц в ответе.
• Результат деления можно проверить обратным действием — умножением.