Урок 12.Деление величины на число и на величину

Определения и обозначения

Величина — свойство предмета или явления, которое можно измерить и выразить числом с единицей измерения. Например, длину записывают в метрах, а массу — в килограммах. Это понятие нужно, чтобы отличать само измеряемое свойство от числа, которым его описывают.

Деление величины на число — действие, при котором величину делят на указанное число равных частей; результат выражается в той же единице измерения. Так можно узнать, сколько метров приходится на один отрезок, если целую ленту разделили поровну. Единица показывает, в чём измеряется каждая часть.

Деление величины на величину — действие, при котором сравнивают две величины одного рода; после приведения к одинаковым единицам их частное является числом. Например, делением длины на длину можно узнать, во сколько раз одна длина больше другой. Такой результат не измеряет отдельную длину, а показывает отношение величин.

Числовое значение величины — число, которое показывает, сколько выбранных единиц измерения содержится в величине. В записи 5 м числовое значение — 5, а единица измерения — метр. Различать число и единицу нужно, чтобы правильно выполнять вычисления и записывать ответ.

Как это устроено

При делении величины на число единицу измерения сохраняют: 12 м : 3 = 4 м. Представь отрезок длиной 12 м, разделённый на три одинаковые части. Длина каждой части выражается в метрах, потому что деление не меняет вид измеряемого свойства. Число 3 указывает количество частей, а не новую единицу измерения.

При делении двух величин одного рода единицы сокращаются: 12 м : 3 м = 4. Здесь выясняют, сколько раз длина 3 м укладывается в длине 12 м. Если обе длины перевести в метры, получим 12 : 3; метров в числителе и знаменателе поровну, поэтому в ответе остаётся только число. Оно показывает отношение длин, а не длину отдельного отрезка.

Если величины записаны в разных единицах, сначала переведи их в одну и ту же единицу, а затем дели числовые значения. Иначе числа будут обозначать разное количество: например, 3 км — это не 3 м, а 3000 м. После перевода можно корректно сравнить величины, поскольку обе числовые записи будут относиться к одной единице. В ответе на вопрос о том, во сколько раз, единицу не приписывают.

Результат деления на число отвечает на вопрос о величине одной части, а результат деления на величину — на вопрос, во сколько раз одна величина больше или меньше другой. В первом случае известное целое делят на количество равных частей. Во втором сопоставляют две величины одного рода и выясняют, сколько раз одна содержится в другой. Поэтому перед вычислением полезно определить, что именно требуется узнать: размер части или отношение величин.

Проверить деление величины на число можно умножением частного на делитель; деление величин проверяют умножением полученного числа на делитель. Например, для 12 м : 3 = 4 м проверка выглядит так: 4 м · 3 = 12 м. Если 12 м : 3 м = 4, то 4 · 3 м = 12 м. Проверка восстанавливает делимое и помогает заметить ошибку в вычислении или единицах.

Чем отличаются два случая деления величин

Сначала посмотри на то, на что делят: это число или величина с единицей измерения. Затем определи, какой вопрос решает действие — о размере части или о сравнении величин. По этому различию можно понять, нужна ли единица измерения в ответе.

Разбор задач

Длина одной части ленты

Ленту длиной 15 м разрезали на 5 равных частей. Какова длина одной части? Нужно разделить известную длину целой ленты на количество частей. Так как каждая часть — отрезок, ответ должен быть выражен в метрах.

1. Выясняем, что делим величину на число: 15 м делим на 5 частей.
2. Делим числовое значение: 15 : 5 = 3.
3. Сохраняем единицу длины: получаем 3 м.

Ответ: длина одной части — 3 м. Проверим умножением: 3 м · 5 = 15 м, то есть получилась первоначальная длина ленты. Равные части вместе составляют целое.

Сравнение масс ящиков

Масса одного ящика равна 8 кг, а другого — 2 кг. Во сколько раз масса первого ящика больше? Здесь нужно не разделить массу на несколько частей, а сравнить две массы одного рода. Поэтому делим массу первого ящика на массу второго.

1. Записываем отношение: 8 кг : 2 кг.
2. Единицы одинаковы и сокращаются, поэтому вычисляем 8 : 2 = 4.
3. Полученное число показывает, сколько раз масса второго ящика содержится в массе первого.

Ответ: масса первого ящика в 4 раза больше. Проверка: 4 · 2 кг = 8 кг — масса первого ящика. Единицу «килограмм» к числу 4 не добавляем, поскольку сравнивали две массы.

Сравнение длины маршрутов

Длина одного маршрута — 3 км 600 м, другого — 900 м. Во сколько раз первый маршрут длиннее? Это сравнение длин, поэтому делим длину первого маршрута на длину второго. Перед делением нужно записать обе длины в одинаковых единицах.

1. Переводим километры в метры: 3 км = 3000 м, значит, 3 км 600 м = 3600 м.
2. Записываем деление в метрах: 3600 м : 900 м.
3. Сокращаем одинаковые единицы и вычисляем: 3600 : 900 = 4.

Ответ: первый маршрут в 4 раза длиннее. Проверка: 4 · 900 м = 3600 м. Перевод единиц перед вычислением необходим: делить только числа 3,6 и 900, забыв о разных единицах, нельзя.

Типичные ошибки

• При делении величины на число иногда убирают единицу измерения. Это происходит, если воспринимать ответ только как частное чисел и забыть, что ищется размер части. Проверь себя вопросом: «В чём измеряется одна часть?» — единица должна совпадать с единицей исходной величины.

• При делении одной величины на другую могут оставить единицу измерения в ответе. Так случается, если механически переписать единицу делимого, не заметив, что обе величины измеряют одно и то же. Убедись, что единицы одинаковы: при делении метров на метры или килограммов на килограммы они сокращаются.

• Иногда делят числовые значения, записанные в разных единицах, без перевода. Причина — одинаковый вид чисел создаёт впечатление, что их можно сравнивать напрямую, хотя они обозначают разные количества. Перед вычислением подпиши единицы и приведи величины к одной; после этого проверь, что преобразование выполнено верно.

• В задаче «во сколько раз» можно разделить меньшую величину на большую, хотя спрашивают, во сколько раз первая больше. Ошибка возникает из-за того, что порядок сравниваемых величин не связывают с порядком деления. Проверь смысл частного: если первая величина больше второй, частное должно быть больше 1; дели первую на вторую.

Связь с другими темами

Для работы с величинами нужно знать единицы измерения и уметь переводить, например, километры в метры. Деление величины на число опирается на деление натуральных и дробных чисел и применяется, когда величину делят на равные части. Деление величин помогает сравнивать их и встречается в задачах на скорость или цену за единицу товара: в таких задачах также выясняют отношение двух величин.

Что запомнить

• При делении величины на число единица измерения сохраняется.
• При делении величин одного рода сначала приведи их к одинаковым единицам.
• Частное двух величин одного рода — число без единицы измерения.
• Деление величины на число помогает найти размер одной равной части.
• Деление одной величины на другую показывает, во сколько раз они различаются.
• Деление можно проверить обратным умножением.