"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В., Разумовский В.А. и др.
Деление многозначного числа на двузначное выполняют по разрядам: сначала выделяют часть делимого, которую можно разделить на делитель, затем подбирают цифры частного и проверяют их умножением. После каждого вычитания сносят следующую цифру. Такой порядок помогает делить большие числа, записывать частное без нарушения разрядов и находить остаток, который всегда меньше делителя.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Неполное делимое — часть делимого, которую делят на очередном шаге. Сначала слева берут наименьшую часть числа, которая не меньше делителя: так можно получить первую цифру частного. Затем к остатку присоединяют следующую цифру делимого, образуя новое неполное делимое.
Неполное частное — цифра частного, полученная при делении очередного неполного делимого на делитель. Она занимает определённый разряд в ответе, поэтому цифры частного записывают по порядку, начиная со старшего разряда. Это помогает не перепутать десятки, единицы и другие разряды.
Пробная цифра частного — предварительно подобранная цифра, которую проверяют умножением делителя на неё. Такая проверка нужна, чтобы убедиться: произведение помещается в неполном делимом и его можно вычесть. Если произведение оказалось слишком большим, пробную цифру уменьшают.
Остаток при делении — разность между неполным делимым и произведением делителя на найденную цифру частного. Остаток показывает, какая часть пока не разделена, и должен быть меньше делителя. Если остаток не меньше делителя, значит, цифра частного выбрана неверно или деление на этом шаге не закончено.
Деление начинают слева, потому что частное записывают от старшего разряда к младшему. Берут не всю запись числа сразу, а наименьшую левую часть, которая не меньше делителя. Если начать с части меньше делителя, для неё нельзя подобрать ненулевую цифру частного, а первая цифра ответа окажется не на своём месте. Например, при делении 672 на 21 число 6 слишком мало, поэтому первым неполным делимым становится 67.
Каждую цифру частного находят по очереди: выясняют, сколько раз делитель помещается в неполном делимом, и проверяют подходящую цифру. Цифра частного показывает, сколько групп делителя содержится в этой части числа; её место зависит от того, сколько цифр делимого уже рассмотрено. Поэтому полезно сразу записывать цифру над соответствующим разрядом. Если после вычитания нужно продолжить вычисление, к остатку присоединяют следующую цифру делимого.
Подобранную цифру сначала считают пробной и умножают на делитель. Это нужно потому, что приблизительная оценка может дать слишком большое число: например, неполное делимое может содержать в себе делитель лишь несколько раз, а не столько, сколько показалось сначала. Если произведение больше неполного делимого, его нельзя вычесть без отрицательного результата. Тогда пробную цифру уменьшают и снова проверяют умножением.
Когда произведение подходит, его вычитают из неполного делимого и получают остаток. Затем сносят следующую цифру делимого: приписывают её справа к остатку, чтобы образовать новое неполное делимое. Так в частном последовательно появляются цифры разных разрядов. Если получившееся число меньше делителя, в этом разряде частного ставят ноль и сносят следующую цифру, если она есть.
Деление заканчивают, когда цифры делимого исчерпаны. Оставшееся число становится остатком; он должен быть меньше делителя, иначе делитель поместился бы в нём ещё хотя бы один раз. Проверка связывает все части вычисления: делитель умножают на частное и прибавляют остаток. Если получено исходное делимое, деление выполнено верно; при делении без остатка прибавлять нужно ноль.
| Этап | Что выполняем | Что проверяем |
|---|---|---|
| Выделение первого неполного делимого | Берём слева наименьшую часть делимого, не меньшую делителя. | Можно ли разделить эту часть на делитель? |
| Подбор цифры частного | Оцениваем, сколько раз делитель содержится в неполном делимом. | Цифра частного соответствует нужному разряду. |
| Умножение делителя на пробную цифру | Умножаем делитель на выбранную цифру. | Произведение не больше неполного делимого. |
| Вычитание и получение остатка | Вычитаем произведение из неполного делимого. | Остаток меньше делителя. |
| Снос следующей цифры и продолжение деления | Приписываем следующую цифру делимого к остатку и повторяем действия. | Если число меньше делителя, записываем в частном 0. |
| Запись ответа и проверка результата | Записываем частное и, если нужно, остаток. | Делитель × частное + остаток равно делимому. |
Пользуйся таблицей как последовательностью действий: переходи к следующей строке, когда проверка текущего этапа выполнена. Особенно внимательно следи за разрядом каждой цифры и за тем, не пропущен ли ноль в частном. В конце отдельно проверь и остаток, и равенство для всего делимого.
Первая цифра 6 меньше делителя 21, поэтому начинаем с числа 67. Это первое неполное делимое, и первая цифра частного будет соответствовать десяткам.
Оцениваем: 21 помещается в 67 три раза. Проверяем умножением: 21 × 3 = 63, а 63 не больше 67. Значит, цифра 3 подходит; вычитаем 67 − 63 = 4.
Сносим последнюю цифру делимого 2 и получаем 42. Делитель 21 содержится в 42 два раза, поскольку 21 × 2 = 42. Остаток равен 42 − 42 = 0.
Ответ: 672 : 21 = 32. Первая цифра 3 стоит в разряде десятков, а вторая цифра 2 — в разряде единиц, поэтому частное записано как 32.
Число 7 меньше 24, поэтому берём первые две цифры: 73. Делитель помещается в 73 три раза, так как 24 × 3 = 72. Вычитаем: 73 − 72 = 1.
Сносим следующую цифру 9 и получаем 19. Число 19 меньше делителя 24, значит, на этом шаге ни одной полной группы не получается. Записываем 0 в частном, чтобы сохранить место разряда, и сносим следующую цифру.
Приписываем к 19 цифру 2 и получаем 192. Делитель 24 помещается здесь 8 раз: 24 × 8 = 192. Вычитание даёт остаток 0, и цифры делимого закончились.
Ответ: 7392 : 24 = 308. Ноль в середине частного обязателен: без него получилось бы 38, то есть число в десять раз меньше правильного ответа.
Берём 84: это наименьшая левая часть, которая не меньше 36. Делитель помещается в ней 2 раза, потому что 36 × 2 = 72. Вычитаем 84 − 72 = 12.
Сносим 5 и получаем 125. Подбираем цифру 3: 36 × 3 = 108, а 36 × 4 = 144, что уже больше 125. Значит, 3 подходит; остаток равен 125 − 108 = 17.
Сносим 7 и получаем 177. Делитель помещается 4 раза: 36 × 4 = 144, тогда как 36 × 5 = 180 больше 177. Вычитаем 177 − 144 = 33; все цифры делимого использованы.
Ответ: 8457 : 36 = 234 (ост. 33). Остаток меньше делителя: 33 < 36. Проверка: 36 × 234 + 33 = 8424 + 33 = 8457, значит, результат верен.
Начинать деление с части числа, которая меньше делителя, нельзя: для неё не получится подобрать первую ненулевую цифру частного. Такую ошибку допускают, когда смотрят только на первую цифру делимого. Проверь начало: выделенная часть должна быть не меньше делителя; если это не так, присоедини следующую цифру.
Если неверно определить разряд первой цифры частного, ответ может оказаться в десять или сто раз больше либо меньше нужного. Часто это происходит, когда путают число цифр в неполном делимом и положение цифры частного. Проверь запись: первая цифра частного относится к тому разряду, который соответствует выбранной части делимого.
Слишком большую пробную цифру нельзя оставлять без проверки: произведение делителя на неё может превысить неполное делимое. Тогда вычитание невозможно, хотя ошибка иногда остаётся незамеченной при оценке «на глаз». Каждый раз умножай делитель на пробную цифру; если произведение больше неполного делимого, уменьши цифру.
Ноль в частном пропускают, когда очередное неполное делимое меньше делителя. Из-за этого следующие цифры ответа сдвигаются, и частное меняет значение. Сверяй количество разрядов и помни: если на очередном шаге делитель не помещается, в частном на этом месте записывается 0.
Для деления нужны таблица умножения, умножение и вычитание многозначных чисел, а также понимание разрядного состава числа: ими пользуются на каждом шаге вычисления. Деление с остатком помогает проверять ответы и решать задачи, в которых предметы распределяют поровну, а лишние остаются. Поразрядный способ пригодится при делении больших чисел, вычислении значений выражений и решении уравнений. Умение проверять результат связывает деление с умножением.
Как понять, с какой цифры делимого начинать деление?
Слева выдели наименьшую часть делимого, которая не меньше делителя. Если первая цифра меньше делителя, возьми первые две цифры, а если и их недостаточно — первые три.
Как подобрать цифру частного, если делитель двузначный?
Оцени, сколько раз делитель помещается в неполном делимом, и выбери подходящую цифру от 1 до 9. Умножь делитель на неё: произведение должно быть не больше неполного делимого.
Зачем проверять пробную цифру частного умножением?
Умножение показывает, не слишком ли велика выбранная цифра. Если произведение больше неполного делимого, цифру нужно уменьшить, иначе вычитание выполнить нельзя.
Почему иногда в частном нужно записать ноль?
Ноль записывают, когда очередное неполное делимое меньше делителя и разделить его нацело с получением цифры частного нельзя. Он сохраняет место разряда, поэтому частное не становится в десять раз меньше.
Как проверить деление, если получился остаток?
Умножь делитель на частное и прибавь остаток. Результат должен равняться делимому, а сам остаток должен быть меньше делителя.
Урок 11.Деление многозначного числа на двухзначное число
