"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В., Разумовский В.А. и др.
Письменное умножение помогает быстро и надёжно умножать многозначное число на однозначное, когда устный счёт становится неудобным. Число записывают столбиком и вычисляют произведение по разрядам, начиная с единиц. Если при умножении получается больше девяти единиц разряда, десятки переносят дальше. Чтобы не ошибиться, важно правильно расположить числа, учесть каждый перенос и сохранить разряды с нулями.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Письменное умножение — способ умножения многозначного числа на однозначное с записью вычислений столбиком. Оно помогает не держать все промежуточные результаты в памяти и последовательно работать с разрядами. Этот способ особенно удобен, когда числа трудно перемножить устно.
Множитель — число, на которое умножают; в этой теме один из множителей записан одной цифрой. Например, в записи 324 × 2 числа 324 и 2 — множители. Однозначный множитель применяют к цифрам всех разрядов многозначного числа.
Произведение — результат умножения. При записи столбиком его цифры находят по разрядам: единицы результата записывают в текущем разряде, а десятки при необходимости переносят дальше. Это помогает сохранить правильное значение каждой цифры.
Перенос единиц в следующий разряд — запись десятков, полученных при умножении цифр одного разряда, для учёта при вычислении следующего. Например, 8 единиц × 7 = 56 единиц: 6 остаются в разряде единиц, а 5 десятков переходят к десяткам. Перенос нужен, чтобы учесть всё произведение, а не потерять часть результата.
Многозначное число можно представить как сумму разрядных слагаемых. Например, 324 = 300 + 20 + 4. Тогда 324 × 2 можно вычислить как (300 + 20 + 4) × 2, то есть умножить каждое слагаемое на 2 и сложить результаты. Запись столбиком выполняет ту же работу, но помогает компактно расположить промежуточные результаты и учесть переходы между разрядами.
При записи столбиком цифры одного разряда должны стоять друг под другом: единицы под единицами, десятки под десятками и так далее. Однозначный множитель обычно записывают под числом, у его разряда единиц. Такое расположение сохраняет значение каждой цифры, поэтому после вычислений легко понять, куда записывать результат. Начинают с единиц, потому что переносы возникают именно при переходе от младших разрядов к старшим.
В каждом разряде цифру умножают на однозначный множитель, а затем прибавляют перенос, если он пришёл справа. Полученное число может быть однозначным или двузначным. Например, при умножении цифры десятков сначала учитывают десятки, перенесённые из разряда единиц. Поэтому перенос является частью вычисления текущего разряда, а не отдельным числом, которое можно проигнорировать.
Если результат для разряда больше 9, в нём нельзя записать всё двузначное число: одна позиция предназначена только для цифры этого разряда. Поэтому единицы полученного результата записывают на текущем месте, а десятки переносят в следующий разряд. Так сохраняется правильное значение числа: перенос десятков в разряд сотен, например, означает добавление именно сотен, а не единиц.
Ноль тоже занимает своё место, поэтому при вычислении числа с нулём его разряд нельзя пропускать. Если перенос пришёл в разряд с нулём, его прибавляют к произведению нуля на множитель и записывают получившееся значение. Например, при вычислении 5086 × 9 в разряде десятков ноль умножают на 9, но учитывают перенос из разряда единиц. Проверить готовое произведение можно обратным действием — делением на множитель — или оценкой округлённых чисел.
Таблица показывает порядок работы с записью столбиком. Следуйте шагам сверху вниз и не переходите к следующему разряду, пока не определили, какой перенос нужно учесть. В последнем разряде запишите всё оставшееся значение, включая возможные десятки переноса.
| Шаг | Что сделать | Что записать |
|---|---|---|
| Подготовка записи | Расположить множители по разрядам столбиком | Однозначный множитель под разрядом единиц |
| Единицы | Умножить цифру единиц на однозначный множитель | Цифру единиц результата |
| Перенос | Оставить в разряде единицы полученного результата, десятки перенести | Десятки для учёта в следующем разряде |
| Следующие разряды | Умножать цифры слева направо, каждый раз учитывать перенос | Цифру текущего разряда и новый перенос |
| Завершение | Записать результат последнего разряда и проверить вычисление | Полное произведение |
Задача 1. Вычислите 324 × 2 письменно.
Ответ: 648. В этом примере каждый разряд дал однозначный результат, поэтому переносы не понадобились. Порядок вычислений при этом остаётся тем же, что и в примерах с переносом.
Задача 2. Вычислите 246 × 7 письменно.
Ответ: 1722. Здесь переносы меняют вычисление каждого следующего разряда, поэтому их нельзя считать отдельно или забывать. Проверка: 1722 ÷ 7 = 246.
Задача 3. Вычислите 5086 × 9 и проверьте результат.
Ответ: 45 774. Проверяем обратным действием: 45 774 ÷ 9 = 5086. Для примерной оценки можно округлить 5086 до 5000: 5000 × 9 = 45 000, что близко к найденному результату.
Начинать вычисление со старшего разряда неудобно, потому что переносы из единиц и десятков ещё неизвестны. Так легко получить неверную цифру в старшем разряде или забыть позднее изменить её. Начинайте с единиц и проверяйте, что каждый перенос учтён справа налево.
Иногда всё двузначное произведение цифр записывают в одном разряде. Так делать нельзя: разряд вмещает только одну цифру, а десятки относятся уже к следующему разряду. Разделите результат на единицы и десятки: первые запишите, вторые перенесите; проверьте, что в столбце каждого разряда осталась одна цифра.
Если не прибавить перенос к произведению следующей цифры, часть результата потеряется. Эту ошибку допускают, когда воспринимают перенос как пометку, а не как часть вычисления. Перед каждым умножением спросите себя, пришёл ли перенос справа, и проверьте ответ делением на множитель.
Пропуск нуля или смещение цифр при записи нарушают разрядный состав произведения. Ноль может показаться ненужным, но без него цифры займут другие позиции и число изменится. Сверяйте столбцы по разрядам, выполняйте шаг для каждой цифры исходного числа и проверьте порядок ответа примерной оценкой.
Для письменного умножения нужны знание таблицы умножения, понимание разрядного состава многозначного числа и умение применять распределительное свойство. Разрядный состав объясняет, почему вычисление можно вести по частям, а таблица умножения помогает быстро находить произведения цифр. Переносы связывают вычисления в соседних разрядах.
Этот приём пригодится в вычислениях с большими числами и в задачах, где величину увеличивают в несколько раз. Оценка результата помогает заранее понять, правдоподобен ли ответ, а обратное действие — проверить его точнее. Так письменное умножение становится частью решения, а не отдельным упражнением.
Почему умножение столбиком начинают с единиц?
При умножении единиц сразу становится понятно, сколько десятков нужно перенести в следующий разряд. Затем этот перенос можно учесть при вычислении десятков, а после — сотен и более старших разрядов. Если начинать слева, переносы из младших разрядов ещё неизвестны.
Что делать, если произведение цифры на множитель получилось двузначным?
В разряде записывают только цифру единиц полученного произведения. Его десятки переносят в следующий, более старший разряд. Например, при произведении 6 × 7 = 42 записывают 2, а 4 учитывают при умножении следующей цифры.
Когда нужно прибавлять перенос?
Перенос прибавляют к результату умножения цифры следующего разряда на однозначный множитель. Например, если к разряду перешли 4 десятка, то при вычислении десятков это число нужно прибавить к их произведению. Получившееся число снова разделяют на единицы разряда и перенос.
Как умножать число, в записи которого есть ноль?
Ноль не пропускают: он занимает место своего разряда. Его умножают на однозначный множитель и прибавляют перенос, если он есть. Если перенос тоже равен нулю, в этом разряде записывают 0.
Как проверить результат умножения на однозначное число?
Можно разделить полученное произведение на однозначный множитель: должно получиться исходное число. Также результат проверяют оценкой: например, округляют исходное число и прикидывают, какого порядка должен быть ответ. Если точное частное не совпадает или оценка сильно расходится с ответом, вычисление нужно перепроверить.
Урок 13.Умножение на однозначное число (письменные вычисления)
