Урок 14.Деление на двузначное число с остатком (письменные вычисления)

Определения и обозначения

Деление с остатком — действие, при котором делимое представляют как произведение делителя на неполное частное и остаток. Например, 17 = 5 × 3 + 2: число 17 разделили на группы по 5, получили 3 полные группы и 2 оставшиеся единицы. Такая запись помогает увидеть, что деление выполнено не обязательно нацело. Она же служит основой для проверки вычисления.

Неполное частное — целое число, показывающее, сколько раз делитель содержится в делимом без учёта остатка. В примере 17 : 5 неполное частное равно 3, потому что можно составить три полные пятёрки. Его называют неполным, чтобы отличать от результата деления нацело: оставшаяся часть здесь не исчезает. Это число записывают в ответе как частное.

Остаток — число, которое остаётся после деления; оно всегда меньше делителя. При делении 17 на 5 остаются 2 единицы, и ещё одну полную пятёрку из них составить нельзя. Если остаток оказался равен делителю или больше него, значит, можно выделить ещё одну группу и частное найдено не до конца. Поэтому сравнение остатка с делителем обязательно при проверке.

Письменное деление на двузначное число — поразрядный способ нахождения неполного частного и остатка. При нём делимое обрабатывают частями слева направо, а цифры результата записывают в соответствующие разряды. Такой способ удобен, когда делимое многозначное и вычисление трудно выполнить устно. Промежуточные вычитания показывают, какая часть числа уже учтена.

Как это устроено

Сначала нужно определить, с какой части делимого начать деление. Берут минимальное число первых цифр слева, которое не меньше делителя: именно его можно разделить хотя бы на одну группу делителя. Если первая цифра делимого меньше делителя, её одной недостаточно, поэтому к ней присоединяют следующую цифру. Это помогает сразу поставить первую цифру частного над правильным разрядом.

Затем оценивают первую цифру частного и проверяют её пробным умножением двузначного делителя на предполагаемую цифру. Например, если делитель 23, а выбранная часть делимого 47, можно предположить, что 23 поместится в 47 два раза. Проверка 23 × 2 = 46 показывает, что выбор подходит: произведение не превышает 47. Подбор нужен потому, что оценка на глаз может оказаться неточной.

Найденное произведение вычитают из выбранной части делимого, чтобы узнать, сколько не использовано на этом шаге. В примере 47 − 46 = 1, значит, после выделения двух групп по 23 осталась одна единица. Вычитание показывает промежуточный остаток, а не обязательно окончательный ответ. Если произведение оказалось бы больше текущей части, выбранная цифра частного слишком велика и её следует уменьшить.

После вычитания к промежуточному остатку сносят следующую цифру делимого — приписывают её справа. Так получают новое число, которое учитывает следующую часть делимого и позволяет найти следующую цифру частного. Например, если после вычитания осталось 1, а следующая цифра делимого — 5, получают 15. Каждый такой шаг выполняют одинаково: оценивают цифру, умножают, вычитают и, если есть цифра, сносят её.

Цифры частного записывают по разрядам, потому что каждая из них показывает число групп в определённом разряде делимого. Если на очередном шаге делитель не помещается в полученное число, в соответствующем разряде частного ставят 0, а затем продолжают деление со следующей цифрой. После обработки всех цифр оставшееся число становится остатком. Оно должно быть меньше делителя, иначе можно было бы выделить ещё одну группу.

Письменное деление на двузначное число с остатком

Пользуйся таблицей как порядком действий: переходи к следующему этапу только после проверки предыдущего. Если произведение слишком велико, вернись к подбору цифры частного. В конце проверь и размер остатка, и всё деление умножением с прибавлением остатка.

Разбор задач

Задача: выполни деление 475 на 23 с остатком письменным способом. Начальная часть — 47, так как первая цифра 4 меньше 23, а число 47 уже не меньше делителя. Подбираем цифру частного пробным умножением, затем продолжаем деление с последней цифрой делимого. Так мы учтём и сотни с десятками, и оставшиеся единицы.

1. Проверяем, сколько раз 23 содержится в 47: 23 × 2 = 46, а 23 × 3 = 69, что больше 47. Первая цифра частного — 2, остаток шага: 47 − 46 = 1.
2. Сносим цифру 5 и получаем 15. Число 15 меньше 23, поэтому целую группу выделить нельзя; в частном ставим 0.
3. Остаток равен 15, он меньше 23. Проверяем: 23 × 20 + 15 = 460 + 15 = 475.

Ответ: 475 : 23 = 20 (ост. 15). Ноль в частном сохраняет разряд десятков: после двух десятков делителя ни одной полной группы по 23 в оставшихся единицах нет. Проверка подтверждает и делимое, и допустимость остатка. Значит, деление выполнено верно.

Задача: выполни деление 936 на 24 письменным способом. Начинаем с 93: цифра 9 меньше 24, а первые две цифры уже образуют число, пригодное для деления. Затем нужно определить число десятков частного и перейти к последней цифре делимого. В каждом разряде проверяем, что произведение не превышает текущую часть.

1. Подбираем цифру для 93: 24 × 3 = 72, а 24 × 4 = 96, что больше 93. Записываем 3 в разряде десятков частного и вычитаем: 93 − 72 = 21.
2. Сносим 6, получаем 216. Делитель помещается здесь 9 раз: 24 × 9 = 216, поэтому записываем 9 в разряде единиц.
3. Вычитаем 216 − 216 = 0. Остатка нет; проверка: 24 × 39 = 936.

Ответ: 936 : 24 = 39. Цифры частного 3 и 9 соответствуют десяткам и единицам: это не просто две найденные цифры, а число 39. Проверка умножением показывает, что частное верно. Остаток 0 меньше 24, поэтому деление выполнено до конца.

Задача: выполни деление 5487 на 36 с остатком и проверь результат. Первые две цифры, 54, достаточны для начала: 5 меньше делителя, а 54 больше него. Далее после каждого вычитания сносим следующую цифру. Важно не терять разряды, даже если на промежуточном шаге делитель не помещается в полученное число.

1. В 54 число 36 помещается 1 раз: 54 − 36 = 18. Сносим 8 и получаем 188; число 36 помещается в нём 5 раз, так как 36 × 5 = 180, а 36 × 6 = 216 больше 188.
2. Вычитаем 180 из 188, получаем 8. Сносим 7 и получаем 87; 36 помещается 2 раза, потому что 36 × 2 = 72, а 36 × 3 = 108 больше 87.
3. Вычитаем 72 из 87 и получаем остаток 15. Частное равно 152; проверяем: 36 × 152 + 15 = 5472 + 15 = 5487, причём 15 < 36.

Ответ: 5487 : 36 = 152 (ост. 15). Проверка подтверждает, что произведение делителя на частное вместе с остатком даёт исходное делимое. Остаток меньше 36, значит, дополнительных полных групп по 36 получить нельзя. Оба условия проверки выполнены.

Типичные ошибки

Начинать деление с части делимого, которая меньше делителя, — ошибка: в такой части не помещается ни одной полной группы. Её допускают, если смотрят только на первые цифры и сразу начинают записывать частное. Проверь себя сравнением начальной части с делителем: если она меньше, присоедини следующую цифру. Начинать нужно с минимальной части, которая уже не меньше делителя.

Слишком большая цифра частного приводит к тому, что произведение делителя на неё превышает текущую часть делимого. Так бывает, если ограничиться приблизительной оценкой и не выполнить пробное умножение. Проверь выбранную цифру: произведение должно быть не больше текущей части. Если оно больше, уменьши цифру и пересчитай произведение.

Пропуск нуля в частном нарушает разрядную запись числа. Его часто не замечают, когда на очередном шаге делитель не помещается в полученное число и хочется сразу перейти к следующей цифре делимого. Проверь, соответствует ли каждая снесённая цифра отдельному разряду частного. Если на месте разряда нет ни одной полной группы, запиши там 0.

Остаток, равный делителю или больший него, недопустим: значит, деление не завершено. Ошибка возникает, если остановиться после последнего вычитания, не сравнив остаток с делителем. Проверь это неравенством: остаток < делитель. Если оно не выполняется, можно выделить ещё одну группу, поэтому нужно продолжить вычисления или исправить предыдущий шаг.

Связь с другими темами

Перед письменным делением на двузначное число нужно уметь делить с остатком на однозначное число. Полезно также знать проверку: делимое = делитель × частное + остаток, где остаток меньше делителя. Это правило остаётся тем же, даже когда делитель становится двузначным, а вычисление выполняется по разрядам.

Письменный способ пригодится в задачах на распределение предметов поровну: частное показывает число полных групп, а остаток — сколько предметов не вошло в них. Он также помогает выполнять деление многозначных чисел, когда устного счёта недостаточно. Последовательность действий в таких вычислениях сохраняется: подбор цифры, умножение, вычитание и перенос следующей цифры.

Что запомнить

• Деление выполняют поразрядно, начиная с подходящей начальной части делимого.
• Цифру частного подбирают пробным умножением.
• Произведение делителя и цифры частного не должно превышать текущую часть делимого.
• После вычитания к остатку сносят следующую цифру делимого.
• Остаток всегда меньше делителя.
• Проверка: делимое = делитель × частное + остаток.