Урок 13.Деление на двузначное число (письменные вычисления)

Определения и обозначения

Письменное деление на двузначное число — способ находить частное поразрядно, записывая промежуточные вычисления столбиком. Иначе говоря, делимое постепенно разбивают на удобные части, а не пытаются разделить всё число сразу. Этот способ помогает аккуратно работать с многозначными числами и видеть, откуда берётся каждая цифра ответа.

Неполное делимое — часть делимого, которую на очередном шаге рассматривают как отдельное делимое. Сначала это несколько первых цифр исходного числа, затем к остатку присоединяют следующую цифру. Понятие нужно, чтобы выполнять деление последовательно и не терять разряды исходного числа.

Пробная цифра частного — предполагаемая цифра частного, которую подбирают по неполному делимому и делителю. Она показывает, сколько раз делитель примерно помещается в текущей части делимого. Её называют пробной, потому что оценка может быть неточной и её обязательно проверяют умножением.

Неполное частное — цифра частного, полученная при делении очередного неполного делимого. Например, если на одном шаге удалось определить, что делитель помещается три раза, цифра 3 становится частью общего частного. Так термин помогает отличать результат одного шага от всего ответа.

Как это устроено

Деление начинают с такой части числа слева, которая не меньше делителя. Если взять число меньше делителя, оно не разделится даже один раз, поэтому с него нельзя получить цифру частного. Место выбранной части показывает разряд, с которого начинается ответ: например, если первое неполное делимое составлено из сотен, первая цифра частного относится к сотням.

Пробную цифру оценивают по старшим разрядам неполного делимого и делителя. Например, если в неполном делимом около 67 десятков, а в делителе около 24 десятков, можно предположить, что делитель поместится два раза. Такая оценка ускоряет подбор, но не гарантирует точности, потому что отброшенные младшие цифры тоже влияют на результат. Поэтому найденную цифру умножают на делитель и сравнивают произведение с неполным делимым.

Когда пробная цифра выбрана, делитель умножают на неё. Произведение вычитают из неполного делимого, потому что тем самым убирают ту часть, которая уже учтена в частном. Если произведение больше неполного делимого, пробная цифра слишком велика и её уменьшают. Правильное вычитание оставляет остаток меньше делителя: иначе делитель поместился бы ещё хотя бы один раз.

После получения остатка к нему сносят следующую цифру делимого — то есть записывают её справа от остатка. Так образуется новое неполное делимое, которое снова делят на тот же делитель. Сносить цифру нужно именно после вычитания: тогда новое число правильно продолжает вычисление исходного делимого. Повторяют шаги, пока цифры делимого не закончатся.

Цифры частного записывают в соответствии с разрядами тех частей делимого, с которыми работают. Иногда после сноса следующей цифры получается число меньше делителя. На этом месте делитель не помещается ни одного раза, поэтому в частном записывают 0 и только затем сносят следующую цифру. Ноль сохраняет разрядное положение следующих цифр, иначе значение частного изменится.

Этапы письменного деления на двузначное число

Пользуйся таблицей как последовательностью шагов: переходи к следующему этапу только после проверки предыдущего. Особенно внимательно следи за остатком и сносом цифр. Если на каком-либо разряде делитель не помещается, не пропускай этот разряд в частном.

Разбор задач

Вычислите 672 : 24.

Сначала ищем первую часть делимого, достаточную для деления: 6 меньше 24, поэтому берём 67. По старшим разрядам можно предположить, что 24 поместится в 67 два раза; проверим произведение. После вычитания нужно присоединить последнюю цифру делимого и продолжить вычисление.

1. Первое неполное делимое — 67. Подбираем цифру 2: 24 × 2 = 48, а 24 × 3 = 72, что больше 67.
2. Вычитаем 67 − 48 = 19. Остаток 19 меньше 24, поэтому сносим следующую цифру 2 и получаем 192.
3. Подбираем вторую цифру: 24 × 8 = 192. Вычитаем 192 − 192 = 0.

Цифры частного 2 и 8 записаны по порядку, остаток равен нулю. Ответ: 672 : 24 = 28.

Вычислите 4386 : 27.

Первая цифра 4 меньше делителя 27, поэтому начинаем с 43. Дальше важно каждый раз проверять остаток и не забывать сносить цифры в порядке записи делимого. В конце может остаться ненулевой остаток, если деление не выполняется нацело.

1. Для 43 берём цифру 1: 27 × 1 = 27. Остаток: 43 − 27 = 16, он меньше 27.
2. Сносим 8, получаем 168. Берём цифру 6, так как 27 × 6 = 162, а 27 × 7 = 189 больше 168. Остаток: 168 − 162 = 6.
3. Сносим 6 и получаем 66. Берём цифру 2: 27 × 2 = 54. Остаток: 66 − 54 = 12, он меньше 27.

Получились цифры частного 1, 6 и 2, а остаток равен 12. Ответ: 4386 : 27 = 162 (ост. 12).

Вычислите 15264 : 48.

Здесь нужно следить не только за вычислениями, но и за разрядами. Первое неполное делимое — 152, потому что 15 меньше 48. После первого вычитания при сносе следующей цифры получится число меньше делителя, и этот шаг покажет, зачем в частном бывает нужен ноль.

1. Для 152 берём цифру 3: 48 × 3 = 144. Остаток: 152 − 144 = 8.
2. Сносим 6, получаем 86. Делитель 48 помещается один раз: 48 × 1 = 48. Остаток: 86 − 48 = 38.
3. Сносим 4, получаем 384. Берём цифру 8: 48 × 8 = 384. Остаток равен 0.

В частном получились цифры 3, 1 и 8, поэтому ответ — 318. Проверка: 318 × 48 = 15264, значит, частное найдено верно.

Типичные ошибки

Если начать с цифры, которая меньше делителя, первое неполное делимое окажется недостаточным, а разряд первой цифры частного будет определён неверно. Так происходит, когда читают делимое только по одной цифре, не сравнивая её с делителем. Проверь начало: выбранная часть слева должна быть не меньше делителя. Если пришлось захватить ещё одну цифру, учитывай и изменение разряда частного.

Пробную цифру иногда записывают сразу после примерной оценки, не умножая её на делитель. Тогда произведение может оказаться больше неполного делимого, и вычитание даст отрицательный результат. Причина ошибки — доверие приблизительной оценке по старшим разрядам. Перед вычитанием умножь делитель на пробную цифру: произведение должно быть не больше неполного делимого.

При переходе к следующему шагу можно снести не ту цифру или забыть её совсем. Тогда новое неполное делимое уже не соответствует исходному числу, и дальнейшие цифры частного будут неверными. Чтобы этого избежать, после каждого вычитания отмечай очередную ещё не использованную цифру делимого и приписывай именно её справа к остатку. Сверяй порядок с записью делимого.

Если делитель не помещается в текущем неполном делимом, пропуск цифры частного сдвигает последующие цифры на разряд. Такая ошибка возникает, когда вычисления ведут только устно и не отслеживают место каждого шага. Запиши 0 в соответствующем разряде и продолжай деление. Проверка умножением частного на делитель поможет заметить неверно сдвинутые цифры.

Связь с другими темами

Для письменного деления полезны навыки письменного умножения, деления на однозначное число и вычитания многозначных чисел. Умножение позволяет проверить каждую пробную цифру, а вычитание помогает правильно находить остатки. Если эти действия выполняются уверенно, легче сосредоточиться на выборе неполного делимого и разрядов частного.

Приём продолжает уже знакомое деление по разрядам и пригодится для вычислений с более длинными числами. Проверка умножением связывает деление с обратным действием: по частному и делителю можно восстановить делимое. Этот навык используют и в задачах на распределение предметов поровну, и в задачах на измерение — например, когда выясняют, сколько раз одна величина содержится в другой.

Что запомнить

• Первое неполное делимое должно быть не меньше делителя.
• Каждую цифру частного проверяют умножением на делитель.
• После вычитания остаток должен быть меньше делителя.
• Следующую цифру делимого сносят только после получения остатка.
• Ноль в частном сохраняет правильное положение остальных цифр.
• Результат деления можно проверить умножением частного на делитель.