Урок 14.Умножение на круглые десятки, сотни и тысячи

Определения и обозначения

Круглый десяток — число, оканчивающееся одним нулём: 20, 50, 90. Его можно представить как произведение однозначного числа и 10: 50 = 5 · 10. Такая запись показывает, откуда берётся ноль и помогает быстро умножать на десятки.

Круглая сотня — число, оканчивающееся двумя нулями: 100, 400, 800. Его представляют как произведение числа и 100: 400 = 4 · 100. Это нужно, чтобы заменить умножение на большое число более простым умножением на 4 и последующим учётом двух нулей.

Круглая тысяча — число, оканчивающееся тремя нулями: 1000, 3000, 7000. Например, 7000 = 7 · 1000. Представление через умножение на 1000 помогает выполнять вычисления без сложной записи в столбик.

Умножение на круглое число — способ вычисления, при котором сначала умножают на ненулевую часть множителя, а затем учитывают его нули. В записи 36 · 20 число 20 заменяют выражением 2 · 10. Такой приём сохраняет значение произведения и уменьшает вероятность ошибки.

Как это устроено

Круглые десятки, сотни и тысячи раскладываются на число без нулей и разрядную единицу: 30 = 3 · 10, 400 = 4 · 100, 6000 = 6 · 1000. Поэтому умножение на 30 можно заменить умножением на 3 и на 10. Например, 24 · 30 = 24 · 3 · 10.

Сначала умножают на ненулевую часть, потому что это обычное табличное или письменное умножение, а нули связаны с умножением на 10, 100 или 1000. По сочетательному свойству (a · b) · c = a · (b · c) множители можно объединять в удобном порядке. Значит, 36 · 20 = 36 · (2 · 10) = (36 · 2) · 10 = 720.

Если нули есть и у множимого, их также нельзя терять. Например, 40 · 300 = (4 · 10) · (3 · 100), а после перестановки и группировки получаем 4 · 3 · 10 · 100 = 12 · 1000. Поэтому в конце учитывают суммарное количество нулей обоих множителей.

Проверка прикидкой помогает заметить лишний или пропущенный ноль. В примере 125 · 400 число 400 примерно равно 4 сотням, поэтому результат должен быть около 500 сотен, то есть около 50 000. Ответ 5000 был бы слишком мал, а 500 000 — слишком велик.

Многозначное число и круглое число можно поменять местами: 125 · 400 = 400 · 125. Это полезно, если один порядок делает вычисление знакомее или позволяет применить удобное разложение. Переместительное свойство умножения гарантирует, что значение произведения не изменится.

Умножение на круглые числа

В таблице собраны основные случаи. В каждой строке сначала выделяйте ненулевую часть множителя, а потом учитывайте нули. Последняя строка напоминает, что нули нужно считать у обоих множителей.

Разбор задач

Вычислите 36 · 20

Число 20 — круглый десяток, поэтому в нём есть ненулевая часть 2 и один ноль. Не нужно сразу приписывать ноль к числу 36: сначала найдём произведение 36 и 2. Затем учтём умножение на 10.

1. Представим 20 как 2 · 10.
2. Умножим 36 на 2: 36 · 2 = 72.
3. Умножим 72 на 10 и припишем один ноль: 720.

Ответ: 36 · 20 = 720.

Вычислите 125 · 400

В числе 400 ненулевая часть равна 4, а нулей два. Сначала вычислим 125 · 4, чтобы не смешивать основное умножение с учётом разряда. После этого умножим результат на 100.

1. Представим 400 как 4 · 100.
2. Найдём произведение ненулевых частей: 125 · 4 = 500.
3. Припишем два нуля, потому что 500 · 100 = 50 000.

Ответ: 125 · 400 = 50 000.

Вычислите 240 · 3000

Оба множителя оканчиваются нулями: в 240 их один, в 3000 — три. Ненулевые части равны 24 и 3, поэтому сначала перемножим их. Затем добавим все четыре нуля, сохранив разряд произведения.

1. Запишем 240 · 3000 как (24 · 10) · (3 · 1000).
2. Умножим ненулевые части: 24 · 3 = 72.
3. Учтём четыре нуля: 72 · 10 000 = 720 000.

Ответ: 240 · 3000 = 720 000.

Типичные ошибки

Иногда нули приписывают до умножения ненулевых частей: например, пытаются действовать с 36 и 20 одновременно. Так легко потерять разряд или получить неверное промежуточное число. Сначала выполните 36 · 2, а затем проверьте умножением на 10.

Другая ошибка — учитывать только нули круглого множителя и забывать нули множимого. В примере 40 · 300 нужно считать один ноль у 40 и два у 300. Самопроверка проста: выпишите множители в виде 4 · 10 и 3 · 100.

При умножении на 400 иногда приписывают один ноль, потому что видят только последнюю цифру. Но 400 = 4 · 100, а в 100 два нуля. Пересчитайте цифры после ненулевой части множителя.

Ошибкой бывает и неверное умножение ненулевых частей, например запись 125 · 4 = 400. Такое промежуточное действие нужно проверить отдельно: 100 · 4 = 400, а 25 · 4 = 100, значит, сумма равна 500. Только после этого добавляйте нули.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны таблица умножения, понимание разрядного состава чисел и знание умножения на 10, 100 и 1000. Без этого трудно определить ненулевую часть множителя и правильно посчитать нули. Полезно заранее потренироваться в разложении чисел по разрядам.

Приём пригодится в устных вычислениях, умножении многозначных чисел и решении задач с крупными единицами измерения. Он помогает быстро находить стоимость нескольких сотен предметов, расстояния в тысячах метров или массу в тоннах. Навык также облегчает проверку письменных вычислений.

Что запомнить

• Круглые десятки, сотни и тысячи можно представить как число, умноженное на 10, 100 или 1000.
• Сначала умножай на ненулевую часть круглого множителя.
• После этого учитывай нули круглого множителя.
• Если нули есть у обоих множителей, учитывай их все.
• Проверяй результат прикидкой.