"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В., Разумовский В.А. и др.
При умножении на круглые десятки, сотни и тысячи удобно сначала убрать конечные нули, перемножить оставшиеся числа, а затем вернуть нули. Например, 24 · 400 можно вычислить как 24 · 4, а потом приписать два нуля. Этот приём помогает быстрее считать в уме и письменно, не теряя разрядное значение числа. Главное — учитывать нули в обоих множителях и проверять, подходит ли ответ по величине.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Круглый десяток — число, которое оканчивается одним нулём и кратно 10, то есть делится на 10 без остатка. Например, 20, 50 и 90 — круглые десятки. Такое название помогает сразу увидеть, что число можно представить как некоторое количество десятков: например, 50 — это 5 десятков.
Круглая сотня — число, которое оканчивается двумя нулями и кратно 100. Примеры круглых сотен — 300 и 700. Если представить их как количество сотен, получится 3 сотни и 7 сотен, поэтому нули можно временно убрать при вычислении, а затем вернуть.
Круглая тысяча — число, оканчивающееся тремя нулями и кратное 1000. Например, 2000 и 6000 — круглые тысячи. Их удобно рассматривать как 2 и 6 тысяч: так проще выполнить основное умножение, не запутавшись в разрядах.
Множитель без нулей — число, которое получается, если у круглого множителя отбросить конечные нули. У 40 это 4, а у 300 — 3. Оно показывает, во сколько раз нужно увеличить число до учёта десятков, сотен или тысяч, а количество отброшенных нулей сохраняют отдельно.
Круглое число можно разложить на множители: один из них не содержит конечных нулей, другой равен разрядной единице. Например, 60 = 6 · 10, а 400 = 4 · 100. Такой вид записи полезен, потому что позволяет отделить короткое вычисление от разрядов, которые нужно будет учесть в конце.
Почему можно сперва умножить числа без нулей, а потом на 10, 100 или 1000? Сочетательное свойство умножения разрешает менять группировку множителей: a · (b · c) = (a · b) · c. Поэтому, например, число 7 можно сначала умножить на 3 в записи 7 · (3 · 10), а затем учесть умножение на 10.
Алгоритм такой: отбрось конечные нули круглого множителя, выполни умножение и приписывай отброшенные нули к полученному произведению. Нули не являются отдельной частью ответа — они показывают, в каком разряде находится результат. Поэтому сначала вычисляют произведение без них: так меньше риск случайно изменить значение числа.
Если нули есть в обоих множителях, их считают вместе. Например, в 120 отброшен один ноль, а в 300 — два, всего три; затем вычисляют 12 · 3 и учитывают эти три нуля, получая 36 000. Это следует из разложения 120 · 300 = (12 · 10) · (3 · 100): разрядные множители дают 10 · 100 = 1000.
Перед записью ответа полезно прикинуть его величину и порядок. Например, если умножаем 120 на 300, то 120 примерно равно 100, а 300 — несколько сотен, значит, ожидаем результат в десятках тысяч. Ответ 360 или 3 600 слишком мал, а 36 000 подходит по порядку; такая проверка помогает заметить пропущенные нули.
| Круглый множитель | Множитель без конечных нулей | Сколько нулей отброшено | Пример вычисления |
|---|---|---|---|
| Круглый десяток: 40 | 4 | 1 | 7 · 40 = 7 · 4 с одним нулём = 280 |
| Круглая сотня: 300 | 3 | 2 | 24 · 300 = 24 · 3 с двумя нулями = 7200 |
| Круглая тысяча: 5000 | 5 | 3 | 12 · 5000 = 12 · 5 с тремя нулями = 60 000 |
В таблице сначала найди множитель без конечных нулей, затем посмотри, сколько нулей было отброшено. Посчитай произведение без нулей и восстанови разряды. Примеры показывают, что правило одинаково работает для десятков, сотен и тысяч.
Задача 1. Вычислить 7 · 30. Представим 30 как 3 · 10, чтобы отделить умножение на единицу от учёта десятка. Это даёт короткий расчёт, а затем позволяет вернуть нужный разряд.
Ответ: 210. Прикидка подтверждает результат: 7 · 30 должно быть больше 7, а 210 — это 7 групп по 30.
Задача 2. Вычислить 24 · 400. В числе 400 два конечных нуля, поэтому заменим его на 4 и отдельно сохраним эти нули. Сначала найдём произведение 24 и 4, а потом восстановим сотни.
Ответ: 9600. Проверка по порядку тоже подходит: 24 · 400 — это почти 25 · 400, то есть около 10 000, поэтому 9600 выглядит правдоподобно.
Задача 3. Вычислить 120 · 3000. Здесь нули есть в обоих множителях, значит, нельзя учитывать только те, что стоят в 3000. Отбросим по одному нулю в 120 и по три нуля в 3000, затем вернём все четыре.
Ответ: 360 000. Оценка даёт число в сотнях тысяч: 120 примерно равно 100, а 3000 — трём тысячам. Поэтому результат такого порядка, а не 36 000 или 3 600 000.
Первая ошибка — считать нули только в одном множителе, хотя они могут быть в обоих. Так, в 120 · 300 нужно учесть один ноль из 120 и два из 300. Ошибка возникает, если смотреть только на круглое число справа; проверяй оба множителя и складывай количество отброшенных нулей.
Вторая ошибка — приписывать нули до вычисления множителей без нулей. Тогда нули могут попасть не в тот разряд или помешать верно выполнить умножение. Сначала посчитай произведение, например 24 · 4 = 96, а после этого восстанови два нуля и проверь разрядность ответа.
Третья ошибка — заменить множитель 20 на 2 или 300 на 3 и забыть вернуть отброшенные нули. Это происходит, если число без нулей принимают за весь множитель, а не за часть разложения. Чтобы проверить себя, запиши 20 = 2 · 10 или 300 = 3 · 100 и учти множитель 10 или 100.
Четвёртая ошибка — не оценивать порядок ответа. При умножении числа на множитель больше 1 ответ не может стать меньше исходного числа; если так получилось, возможно, потеряны нули или допущена ошибка в умножении. Перед записью результата прикинь его величину и сравни её с ожидаемым количеством разрядов.
Для этого приёма нужны навыки табличного умножения и умения умножать многозначное число на однозначное: именно такое вычисление выполняют после отбрасывания нулей. Также важно знать разрядный состав числа: умножение на 10, 100 и 1000 сдвигает цифры влево соответственно на один, два и три разряда. Этот способ пригодится при письменных вычислениях и в задачах на цену и количество, а также при умножении на числа, оканчивающиеся нулями.
Почему при умножении на 40 сначала умножают на 4?
Потому что 40 = 4 · 10, а значит, умножение на 40 можно выполнить как умножение на 4 и на 10. Сначала считают 4, а затем учитывают множитель 10 — то есть приписывают один ноль к полученному произведению.
Сколько нулей нужно приписать к произведению?
При умножении на один круглый множитель приписывают столько нулей, сколько отбросили в нём. Если конечные нули есть в обоих множителях, учитывают их общее количество.
Что делать, если конечные нули есть в обоих множителях?
Отбрось конечные нули в обоих множителях и перемножь оставшиеся числа. Затем приписывай к результату общее количество отброшенных нулей.
Можно ли сначала умножить число на 10, а потом на оставшийся множитель?
Да, можно: умножение на круглый множитель можно разложить на умножение на его число без нулей и на 10, 100 или 1000. Благодаря сочетательному свойству умножения множители можно сгруппировать по-разному. Но приём с нулями часто позволяет считать короче.
Как проверить, что в ответе записано правильное количество нулей?
Сосчитай нули, отброшенные в обоих множителях, и сравни их число с нулями в ответе после вычисления множителей без нулей. Затем оцени порядок результата: при умножении на число больше 1 произведение должно быть больше исходного числа.
Урок 15.Умножение на круглые десятки, сотни и тысячи
