"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В., Разумовский В.А. и др.
Умножение многозначного числа на трёхзначное выполняют по разрядам: отдельно умножают первый множитель на единицы, десятки и сотни второго. Полученные неполные произведения записывают со сдвигом, чтобы учесть место каждой цифры, а затем складывают. Такой способ помогает не потерять разряды при вычислениях и применим даже тогда, когда в трёхзначном множителе есть нули. Ответ полезно проверить приблизительной оценкой.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Множители — числа, которые перемножают. Например, в записи 324 · 216 оба числа являются множителями, но при вычислении столбиком обычно первое число умножают на цифры второго по очереди. Это различие помогает не перепутать, какое число записывать сверху, а какое разбирать по разрядам.
Неполные произведения — результаты умножения первого множителя на отдельные разрядные слагаемые второго множителя. Например, при умножении на 216 такими слагаемыми будут 200, 10 и 6. Каждое неполное произведение показывает вклад своего разряда в общий ответ, поэтому их можно проверить по отдельности.
Умножение столбиком — запись вычисления, в которой неполные произведения располагают по разрядам и складывают. Сдвиг каждой строки показывает, умножали ли число на единицы, десятки или сотни. Такая запись упорядочивает длинные вычисления и помогает складывать одинаковые разряды друг с другом.
Трёхзначное число можно представить как сумму сотен, десятков и единиц: например, 216 = 200 + 10 + 6. По распределительному свойству произведение первого числа на эту сумму равно сумме трёх отдельных произведений. Поэтому вместо одного сложного действия выполняют несколько более простых и складывают результаты. Такой способ сохраняет значение исходного произведения, потому что в нём учтены все разряды второго множителя.
При письменном вычислении первый множитель по очереди умножают на каждую цифру второго, двигаясь справа налево. Сначала считают произведение на цифру единиц, затем на цифру десятков и на цифру сотен. Каждая строка называется неполным произведением, но для десятков и сотен она означает умножение не просто на цифру, а на соответствующее разрядное слагаемое. Именно поэтому расположение строки должно отражать разряд цифры.
Произведение на десятки записывают со сдвигом на один разряд влево, а на сотни — на два. Например, умножение на цифру 2 в разряде десятков означает умножение на 20, поэтому справа у результата должен быть разряд десятков, а не единиц. Сдвиг можно показать пустым местом или нулём, если так легче не сбиться. После сложения правильно выровненных строк получится сумма всех разрядных произведений.
Если в трёхзначном множителе есть ноль, разрядное слагаемое этого разряда равно нулю, поэтому и соответствующее произведение равно нулю. Такую строку из нулей обычно не выписывают, но пропускать сам разряд при размещении следующих строк нельзя. Иначе произведение на сотни или десятки окажется сдвинуто не туда. В конце строки складывают, а ответ проверяют оценкой или перестановкой множителей.
| Шаг | Что сделать | На что обратить внимание |
|---|---|---|
| 1 | Записать множители столбиком | Трёхзначный множитель разместить снизу |
| 2 | Умножить на цифру единиц | Записать результат без сдвига |
| 3 | Умножить на цифру десятков и учесть разрядный сдвиг | Начать запись на один разряд левее |
| 4 | Умножить на цифру сотен и учесть разрядный сдвиг | Начать запись на два разряда левее |
| 5 | Сложить неполные произведения | Выровнять одинаковые разряды |
Двигайтесь по строкам таблицы сверху вниз и после каждого умножения проверяйте разряд записи. Если в множителе встретился ноль, строку с нулевым результатом можно опустить, но положение следующей строки всё равно определяют по её разряду. Перед сложением убедитесь, что единицы, десятки и сотни стоят друг под другом.
Число 216 состоит из 200, 10 и 6, поэтому в ответе сложим три неполных произведения. Начнём с единиц, а затем перейдём к десяткам и сотням. Такой порядок позволяет сразу видеть, какой разряд учитывает каждая строка.
В двух последних строках сдвиг обязателен: иначе мы сложили бы произведения на 1 и 2, а не на 10 и 200. Проверка разрядов перед сложением подтверждает, что каждый вклад поставлен на своё место. Ответ: 324 · 216 = 69984.
В числе 305 есть 3 сотни, 0 десятков и 5 единиц. Нулевой разряд не даёт ненулевой строки, однако произведение на сотни всё равно должно быть записано со сдвигом на два разряда. Разложение 305 = 300 + 5 помогает заранее увидеть, какие слагаемые будут складываться.
Строку для сотен нельзя поставить сразу под строкой для единиц: значение 3 в числе 305 означает 300. Нулевое произведение на десятки можно опустить, поскольку оно ничего не прибавляет к сумме. Ответ: 1 248 · 305 = 380 640.
Здесь второй множитель раскладывается на 400, 30 и 8. Сначала вычислим каждое произведение и расположим строки по соответствующим разрядам, а затем сложим их. После этого округление поможет понять, похож ли точный ответ на ожидаемый по величине.
Полученные значения близки: точное произведение 1 185 228 немного меньше оценки 1 188 000. Такая проверка не заменяет вычисление, но помогает заметить ошибку в разряде или сумме, если ответ отличается очень сильно. Ответ: 2 706 · 438 = 1 185 228.
Если все неполные произведения записать от разряда единиц, сдвиг десятков и сотен исчезнет. Так бывает, когда считают только цифры, не учитывая, что они обозначают разное количество единиц. Проверьте, соответствуют ли строки числам 10 и 100, на которые указывают разряды множителя.
Пропуск нулевой цифры без учёта её места сдвигает следующие произведения. Ошибку допускают, потому что нулевой результат не нужно выписывать и легко забыть о пустом разряде. Перед сложением разложите множитель на сотни, десятки и единицы и убедитесь, что строка каждого разряда расположена правильно.
При умножении в столбик можно забыть перенести полученную цифру в следующее произведение цифр. Обычно это происходит, когда вычисления ведут слишком быстро или не отмечают перенос. Пересчитайте столбец и проверьте, что перенос прибавлен к следующему результату умножения.
Если неполные произведения при сложении не выровнены, в одном столбце окажутся разные разряды. Причина — неверный сдвиг строки или неаккуратная запись чисел. Проверьте расположение единиц: затем десятки должны стоять под десятками, сотни — под сотнями, а сумму полезно пересчитать по столбцам справа налево.
Для такого умножения нужны таблица умножения, письменное умножение на однозначное число и знание разрядного состава чисел. Разложение множителя на разрядные слагаемые и распределительное свойство объясняют, почему сумма неполных произведений равна исходному произведению. Этот навык пригодится при умножении десятичных дробей и в практических задачах, где нужно быстро работать с большими числами.
Почему при умножении на десятки неполное произведение записывают со сдвигом?
Цифра десятков обозначает не отдельные единицы, а число десятков. Поэтому произведение на неё вносит вклад в разряд десятков и записывается на один разряд левее произведения на единицы. Сдвиг показывает умножение на разрядное слагаемое, например на 20, а не на 2.
Что делать, если в трёхзначном множителе есть ноль?
Для разряда с нулём произведение равно нулю. При вычислении столбиком можно не записывать строку из нулей, но нужно сохранить место этого разряда, чтобы следующее неполное произведение оказалось со сдвигом на нужное число позиций.
Нужно ли записывать нулевое неполное произведение?
Обычно строку из одних нулей не записывают: она не изменит сумму. Однако нулевой разряд нельзя забывать при размещении следующих строк. Если пропустить его сдвиг, разряды не совпадут и ответ будет неверным.
Как проверить, правильно ли сложены неполные произведения?
Сначала проверьте, что одинаковые разряды стоят друг под другом, а затем сложите столбцы справа налево с переносами. Для дополнительной проверки оцените произведение округлённых множителей: точный ответ должен быть близок к полученному приблизительному значению.
Можно ли поменять множители местами, чтобы упростить вычисления?
Да, от перестановки множителей произведение не меняется: a · b = b · a. Иногда так удобнее записать вычисление, но результат умножения по разрядам всё равно нужно проверить. Для столбика обычно трёхзначный множитель размещают вторым.
Урок 17.Умножение многозначного числа на трехзначное число
