"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В., Разумовский В.А. и др.
Чтобы разделить многозначное число на трёхзначное, делят его поразрядно: выделяют подходящую начальную часть, находят цифру частного и переходят к следующему разряду. На каждом шаге произведение делителя на выбранную цифру не должно превышать неполное делимое. Если оно меньше делителя, в частном записывают 0. Такой алгоритм помогает аккуратно выполнять вычисления, находить остаток и проверять результат обратным действием — умножением.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Делимое — число, которое делят; в таких примерах оно состоит из нескольких цифр. Например, в записи 8640 : 216 делимое — 8640. Оно задаёт количество, которое нужно разделить на равные группы или части, поэтому именно его цифры мы будем постепенно использовать в вычислении.
Делитель — трёхзначное число, на которое делят многозначное число. В примере 8640 : 216 делитель равен 216. Он показывает, на сколько частей или какого размера группы мы делим делимое; при письменном вычислении с ним сравнивают каждую очередную часть числа.
Неполное делимое — часть делимого, которую на очередном шаге делят на делитель. Сначала это начальные цифры исходного числа, а позднее — остаток, к которому снесли следующую цифру. Понятие нужно, чтобы видеть, какое число рассматривается именно сейчас, и не смешивать его со всем делимым.
Неполное частное — цифра частного, найденная на одном шаге деления. Например, если в неполном делимом делитель помещается четыре раза, на этом шаге получают цифру 4. Такие цифры записывают по порядку: вместе они образуют частное и сохраняют разрядное значение результата.
Сначала делимое рассматривают слева направо и берут как можно меньше его начальных цифр, чтобы полученное число было не меньше делителя. Если взять меньше цифр, поделить эту часть нельзя: делитель в ней не помещается ни одного раза. Если взять лишние цифры, нарушится порядок разрядов частного. Поэтому выбор начальной части определяет, с какого разряда начнётся ответ.
Первую цифру частного удобно прикинуть по старшим цифрам неполного делимого и делителя. Эта оценка помогает не перебирать все варианты, но её недостаточно: округление может дать слишком большую цифру. Поэтому выбранную цифру умножают на делитель и сравнивают произведение с неполным делимым. Если произведение больше, цифру уменьшают; подходящая цифра даёт произведение, которое можно вычесть.
После вычитания остаётся часть неполного делимого, которую пока не удалось разделить. К этому остатку сносят следующую цифру исходного делимого и получают новое неполное делимое. Цифру нужно брать именно из исходного числа и в том же порядке: так продолжается разложение делимого по разрядам, а результат каждого шага связывается со следующим.
Бывает, что новое неполное делимое меньше делителя. Это означает, что делитель в нём не помещается ни одного раза, поэтому на соответствующем месте частного нужна цифра 0. Затем сносят следующую цифру делимого и продолжают деление. Если пропустить этот ноль, цифры частного сдвинутся, и результат будет обозначать уже другое число.
Вычисление заканчивают, когда использованы все цифры делимого. Если после последнего вычитания осталась часть числа, это остаток; он должен быть меньше делителя, иначе деление можно продолжить. Проверка связывает все части вычисления: делитель умножают на частное и прибавляют остаток. Получиться должно исходное делимое, потому что оно состоит из нескольких полных делителей и оставшейся части.
| Шаг | Что сделать | Что проверить |
|---|---|---|
| Выделить первое неполное делимое | Взять начальные цифры делимого | Полученное число не меньше делителя |
| Подобрать цифру частного | Оценить, сколько раз делитель помещается в неполном делимом | Цифра от 1 до 9 подходит для этого разряда |
| Умножить делитель на цифру частного и вычесть | Вычесть найденное произведение | Произведение не превышает неполное делимое |
| Снести следующую цифру делимого | Приписать её к остатку | Взята следующая цифра исходного числа |
| Записать 0, если неполное делимое меньше делителя | Поставить ноль на нужное место частного | Разряды частного не сдвинулись |
| Проверить результат и остаток | Умножить делитель на частное и прибавить остаток | Результат равен делимому, остаток меньше делителя |
Пользуйся таблицей как последовательностью действий: переходи к следующему шагу только после проверки предыдущего. Особенно внимательно следи за сносимой цифрой и местом нуля в частном. В конце отдельно проверь остаток и равенство для проверки деления.
Задача 1. Вычислите 8640 : 216. Первые две цифры, 86, меньше 216, поэтому первое неполное делимое — 864. Делитель помещается в нём четыре раза: 216 · 4 = 864. После вычитания остаток равен нулю; теперь сносим последнюю цифру делимого, 0.
Ответ: 40.
Задача 2. Вычислите 15624 : 312 с остатком. Часть 156 меньше 312, поэтому берём первые четыре цифры: 1562. В ней делитель помещается пять раз, а после вычитания остаётся 2. Снос следующей цифры превращает остаток в 24; это число меньше делителя, поэтому последняя цифра частного — ноль.
Ответ: 50, остаток 24.
Задача 3. Вычислите 48720 : 324 с остатком и выполните проверку. Первое неполное делимое — 487. В нём 324 помещается один раз; затем после вычитания и сноса цифры 2 получаем 1632. На следующем шаге после вычитания остаётся 12, а снесённый 0 образует 120, меньшее делителя, поэтому здесь в частном нужен ноль.
Ответ: 150, остаток 120.
Начинают с одной или двух первых цифр, хотя полученное число меньше делителя. Так происходит, если не сравнить начальную часть с делителем; в результате неверно выбирают разряд первой цифры частного. Проверь себя до деления: начальное неполное делимое должно быть не меньше делителя, а предыдущая, более короткая часть — меньше него.
Подбирают цифру частного только на глаз и не проверяют произведение. Оценка может оказаться завышенной, тогда произведение делителя на эту цифру будет больше неполного делимого и вычитать его нельзя. Умножь делитель на выбранную цифру; если результат превышает неполное делимое, уменьши цифру и повтори проверку.
Пропускают ноль в частном, когда неполное делимое меньше делителя. Часто кажется, что ноль ничего не меняет, но он занимает место разряда и влияет на значение всего числа. Сверяй число шагов с количеством использованных цифр делимого: если на очередном месте делитель не помещается, там должен стоять 0.
Сносят не следующую цифру делимого или забывают её. Это происходит, когда внимание сосредоточено только на остатке, а не на записи исходного числа; тогда новое неполное делимое составляется неправильно. Отмечай использованные цифры по порядку и после каждого вычитания проверяй, какую именно цифру нужно снести.
Для письменного деления на трёхзначное число нужны умения делить на однозначное и двузначное число, умножать и вычитать многозначные числа. При подборе цифры частного особенно полезно быстро оценивать произведение и проверять, не стало ли оно больше неполного делимого.
Этот алгоритм становится основой для деления многозначных чисел на многозначные делители. Он также помогает решать задачи, где результат получают с остатком, и проверять вычисления обратным действием. Связь частного, делителя, остатка и делимого можно выразить равенством: делитель · частное + остаток = делимое.
С каких цифр делимого начинать деление?
Начинай с наименьшего числа первых цифр делимого, которое не меньше делителя. Если первые три цифры меньше трёхзначного делителя, возьми четыре.
Как подобрать очередную цифру частного?
Оцени, сколько раз делитель помещается в неполном делимом, затем проверь подбор умножением. Произведение должно быть не больше неполного делимого, а при увеличении цифры на единицу — уже превышать его.
Почему иногда в частном нужно записать 0?
Ноль записывают, когда очередное неполное делимое меньше делителя и делить его пока нельзя. Ноль сохраняет место цифры в частном, поэтому разряды не сдвигаются.
Как понять, что деление выполнено до конца?
Нужно использовать все цифры делимого, последовательно снося их к остаткам. Если в конце остался остаток, он должен быть меньше делителя.
Как проверить деление с остатком?
Умножь делитель на частное и прибавь остаток. Если получилось делимое, вычисление верно; дополнительно проверь, что остаток меньше делителя.
Урок 18.Деление многозначного числа на трёхзначное число
