Урок 19.Деление многозначного числа на трехзначное число

Определения и обозначения

Делимое — число, которое делят. В записи 864 : 216 = 4 делимое — 864, оно показывает, какое количество нужно разделить на равные части или группы. При делении столбиком его цифры постепенно используют по разрядам.

Делитель — число, на которое делят. В записи 864 : 216 делитель равен 216, а в этом уроке делитель всегда трёхзначный. Он задаёт размер одной группы или количество частей, на которые распределяют делимое.

Частное — результат деления: в записи a : b = c это число c. Оно показывает, сколько раз делитель содержится в делимом, если деление выполняется без остатка. Поэтому делимое связано с делителем и частным умножением: делитель, умноженный на частное, даёт делимое.

Неполное частное — очередная цифра частного, которую находят на одном шаге деления столбиком. Например, сначала выясняют, сколько раз делитель помещается в выбранной части делимого, и записывают найденную цифру в нужный разряд. Так частное собирается последовательно, а не находится целиком за один раз.

Как это устроено

Сначала слева выбирают наименьшую начальную часть делимого, которая не меньше делителя. Если взять часть меньше делителя, делитель не поместится в ней ни одного раза, поэтому по ней нельзя определить первую цифру частного. Например, при делении на трёхзначное число одной или двух первых цифр обычно недостаточно, и приходится брать три.

Число цифр частного зависит от того, сколько разрядов делимого участвует в записи после выбора первой части. Если первая подходящая часть содержит столько же цифр, сколько делитель, то первая цифра частного относится к разряду единиц выбранного результата, а далее цифры добавляются по мере сноса разрядов. Например, при делении четырёхзначного числа на трёхзначное частное может иметь две цифры. Правильный выбор первой части не позволяет начать частное с разряда, которого в ответе быть не должно.

Для очередной цифры частного подбирают число от 1 до 9, умножают на него делитель и сравнивают произведение с текущей частью делимого. Произведение должно быть не больше этой части, иначе при вычитании получится отрицательный остаток. Если произведение меньше или равно, выбранная цифра подходит; если больше — её уменьшают и проверяют снова. Умножение помогает проверить подбор, а не полагаться на догадку.

После выбора цифры произведение вычитают из текущей части, а к полученному остатку приписывают следующую, ещё не использованную цифру делимого. Это действие называют сносом цифры: она сохраняет своё место в исходном числе и становится частью нового числа для деления. Затем снова подбирают цифру частного. Если новая часть меньше делителя, в соответствующем разряде частного записывают 0 и продолжают сносить цифры.

Остаток после каждого вычитания должен быть меньше делителя: если он не меньше, значит, делитель можно было вычесть ещё раз и цифра частного выбрана слишком маленькой. В конце проверяют равенство: делитель × частное + остаток = делимое. При делении без остатка последнее слагаемое равно нулю. Такая проверка одновременно обнаруживает ошибку в умножении, вычитании или записи разрядов.

Этапы деления многозначного числа на трёхзначное

Пользуйся таблицей как последовательностью действий: переходи к следующему этапу только после проверки предыдущего. Если проверка не проходит, вернись к подбору цифры или проверь вычитание и запись разрядов.

Разбор задач

Задача 1. Выполнить деление 864 : 216. Делитель и делимое трёхзначные, поэтому сразу сравним, сколько раз 216 помещается в 864. После вычисления проверим частное умножением.

1. Проверяем умножением: 216 × 4 = 864. Значит, делитель помещается в делимом ровно четыре раза.
2. Записываем частное: 864 : 216 = 4. Остатка нет, поскольку произведение совпало с делимым.
3. Проверяем результат: 216 × 4 = 864. Получили исходное делимое.

Ответ: 4.

Задача 2. Выполнить деление 7392 : 308. Начинаем с 739: это наименьшая начальная часть, которая не меньше 308. Сначала находим цифру сотен частного, затем сносим последнюю цифру делимого и определяем следующую цифру.

1. Подбираем первую цифру: 308 × 2 = 616, а 308 × 3 = 924, что больше 739. Записываем 2; после вычитания 739 − 616 = 123.
2. Сносим цифру 2 и получаем 1232. Так как 308 × 4 = 1232, следующая цифра частного — 4, остаток равен 0.
3. Записываем частное 24 и проверяем: 308 × 24 = 7392.

Ответ: 24.

Задача 3. Выполнить деление 56832 : 237 и проверить результат. Первой подходящей частью будет 568. Продолжая деление, после каждого вычитания сносим цифру и проверяем, подходит ли выбранная цифра частного.

1. Из 568 вычитаем 237 × 2 = 474; получаем 94. Сносим 3: выходит 943. Подходит цифра 3, так как 237 × 3 = 711, а 237 × 4 = 948 больше 943. Остаток: 943 − 711 = 232.
2. Сносим 2 и получаем 2322. Подходит 9: 237 × 9 = 2133, а 237 × 10 = 2370 больше 2322. Остаток: 2322 − 2133 = 189.
3. Собираем частное 239. Проверяем: 237 × 239 = 56643, затем 56643 + 189 = 56832. Остаток 189 меньше делителя 237.

Ответ: 239, остаток 189.

Типичные ошибки

Если начать деление с части делимого, которая меньше делителя, первая цифра частного окажется определена неверно. Так бывает, когда смотрят только на первую цифру, не сравнивая всю начальную часть с делителем. Перед делением проверь: выбранное число должно быть не меньше делителя, а предыдущая, более короткая часть — меньше него.

Подбор цифры частного «на глаз» может привести к произведению, которое больше текущей части. Тогда вычитание даст неверный остаток, иногда отрицательный. Каждый раз умножай делитель на предполагаемую цифру; если произведение превысило делимую часть, уменьши цифру.

При сносе следующей цифры можно потерять её разрядное место или забыть записать ноль в частное. Это происходит, когда вычисления ведут не по порядку или торопятся переписать результат. Сверяй снесённую цифру с исходным делимым и записывай каждую цифру частного над соответствующим разрядом.

Некоторые считают деление законченным сразу после последнего вычитания и не проверяют остаток. Но остаток, равный делителю или превышающий его, означает, что частное можно увеличить. Убедись, что остаток меньше делителя, а делитель × частное + остаток равно делимому.

Связь с другими темами

Для деления на трёхзначное число нужны навыки деления на однозначные и двузначные числа, умножения и вычитания многозначных чисел. Столбик опирается на разрядный состав числа: цифры сносят по порядку и записывают результат в соответствующие разряды. Проверка использует связь деления с умножением. Этот приём пригодится при делении на числа с большим количеством разрядов, а также в задачах на равное распределение и нахождение меры.

Что запомнить

• Начинай деление с наименьшей части делимого, которая не меньше делителя.
• Цифры частного записывай в соответствующие разряды.
• Каждую цифру частного проверяй умножением на делитель.
• После вычитания сноси следующую цифру делимого.
• На каждом шаге остаток должен быть меньше делителя.
• Проверка деления: делитель умножить на частное и прибавить остаток.