"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В., Разумовский В.А. и др.
Деление с остатком помогает узнать, сколько полных групп заданного размера можно составить и что останется. Делимое записывают как произведение делителя и неполного частного плюс остаток. Неполное частное показывает число целых групп, а остаток всегда меньше делителя: если он не меньше, можно выделить ещё одну группу. Для многозначных чисел используют деление уголком, а результат проверяют умножением и сложением.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Деление с остатком — действие, при котором делимое представляют в виде произведения делителя и неполного частного с добавлением остатка. Например, 157 = 12 · 13 + 1. Такая запись показывает, сколько полных групп по 12 можно выделить и что останется.
Неполное частное — целая часть результата деления, показывающая, сколько раз делитель содержится в делимом. В записи 157 : 12 = 13 (ост. 1) неполное частное равно 13. Оно нужно, чтобы узнать число полных групп или порций.
Остаток — число, которое остаётся после выделения из делимого целого количества делителей; он должен быть меньше делителя. В примере с 157 и 12 остаток равен 1: после составления 13 полных групп одна единица остаётся. Условие «остаток меньше делителя» показывает, что новую полную группу составить уже нельзя.
Проверка деления с остатком — равенство: делимое равно делителю, умноженному на неполное частное, плюс остаток. Для примера это 157 = 12 · 13 + 1. Проверка нужна, чтобы убедиться, что деление выполнено верно и остаток учтён.
При делении с остатком ищут наибольшее целое число раз, которое делитель помещается в делимом. Если взять меньшее число, часть делимого останется неиспользованной, хотя из неё можно было бы составить ещё одну группу. Если взять большее, произведение делителя на частное превысит делимое. Поэтому после выделения всех полных групп остаток обязательно меньше делителя.
Полученный результат записывают равенством: делимое = делитель · неполное частное + остаток. Умножение показывает, сколько единиц уже вошло в полные группы, а сложение возвращает оставшуюся часть. Например, в равенстве 157 = 12 · 13 + 1 число 156 — это 13 групп по 12, а 1 — то, что не вошло в группы. Такая запись связывает деление с умножением и позволяет проверить вычисление.
При делении уголком сначала рассматривают такую часть делимого, которая не меньше делителя. Определяют, сколько раз делитель помещается в ней, и записывают найденную цифру в частное. Затем умножают делитель на эту цифру, вычитают произведение и получают остаток промежуточного шага. Это вычитание показывает, сколько единиц ещё не распределено на данном этапе.
После вычитания к полученному числу сносят следующую цифру делимого и продолжают деление. Каждая цифра частного соответствует определённому разряду результата: нельзя пропустить разряд, даже если на одном шаге делитель не помещается. Тогда в частное записывают ноль и только после этого сносят следующую цифру. Иначе цифры частного сдвинутся, и значение результата изменится.
Завершив вычисления, проверяют результат умножением и сложением: делитель умножают на неполное частное и прибавляют остаток. Сумма должна совпасть с исходным делимым, потому что в ней собраны все распределённые единицы и то, что осталось. Отдельно сравнивают остаток с делителем. Если он не меньше делителя, можно выделить ещё одну группу и продолжить деление.
| Что рассматриваем | Как определить или записать | Что проверить |
|---|---|---|
| Неполное частное | Наибольшее целое число раз, которое делитель содержится в делимом | Делитель, умноженный на частное, не превосходит делимое |
| Остаток | Делимое минус произведение делителя и неполного частного | Остаток меньше делителя |
| Равенство для проверки | Делимое = делитель · неполное частное + остаток | Правая часть равна делимому |
| Допустимый размер остатка | Целое число от 0 до делителя, не включая сам делитель | Остаток неотрицателен и меньше делителя |
Сначала найди неполное частное и остаток, а затем используй строку о проверочном равенстве. Таблица помогает не перепутать роли чисел и напоминает, что проверять нужно и сумму, и размер остатка. Если хотя бы одно условие не выполнено, вернись к вычислениям.
Нужно найти наибольшее целое кратное 12, которое не превосходит 157. Удобно проверить соседние произведения: 12 · 13 = 156, а 12 · 14 = 168. Второе уже больше делимого, значит, неполное частное равно 13.
Вычтем из делимого найденное произведение: 157 − 156 = 1. Это остаток, потому что он показывает единицы, не вошедшие в полные группы. Получаем 157 : 12 = 13 (ост. 1).
Проверим деление: 12 · 13 + 1 = 156 + 1 = 157. Результат совпал с делимым, а остаток 1 меньше делителя 12. Значит, вычисление верно.
Ответ: 13, остаток 1.
Сначала берём 28: это первая часть числа, которая не меньше 23. Делитель помещается в ней один раз, поэтому первая цифра частного — 1. Вычитаем 28 − 23 = 5 и сносим следующую цифру 4, получая 54.
В 54 число 23 помещается два раза, потому что 23 · 2 = 46, а 23 · 3 = 69 больше 54. Записываем в частное цифру 2 и вычитаем 54 − 46 = 8. Сносим цифру 7: получаем 87.
В 87 делитель помещается три раза: 23 · 3 = 69, а 23 · 4 = 92 больше 87. Записываем 3 и вычитаем 87 − 69 = 18. Цифр делимого больше нет, поэтому 18 — остаток, а частное равно 123.
Проверяем: 23 · 123 = 2829, затем 2829 + 18 = 2847. Остаток 18 меньше делителя 23, поэтому деление завершено правильно. Разряды частного сохранены: цифры 1, 2 и 3 записаны по мере выполнения шагов.
Ответ: 123 (ост. 18).
Каждый набор содержит 24 детали, поэтому нужно разделить общее число деталей на 24. Найдём подходящее частное: 24 · 200 = 4800, после этого остаётся 274 детали. Ещё 11 наборов требуют 264 детали, значит, можно составить 211 наборов.
Проверим, что следующий набор составить нельзя: 24 · 212 = 5088, а это больше 5074. Найдём остаток: 5074 − 24 · 211 = 5074 − 5064 = 10. Следовательно, 5074 : 24 = 211 (ост. 10).
В условии неполное частное 211 означает число полных наборов. Остаток 10 — это детали, которые не вошли ни в один полный набор. Проверка даёт 24 · 211 + 10 = 5074, причём 10 меньше 24.
Ответ: получится 211 полных наборов, останется 10 деталей.
Записывают остаток, равный делителю или больший него. Так бывает, если остановиться, не выделив ещё одну полную группу. Проверь остаток сравнением с делителем: если остаток не меньше, увеличь частное и продолжи вычисление.
При делении уголком выбирают цифру частного, произведение делителя на которую больше рассматриваемой части делимого. Часто это происходит, когда ориентируются только на приблизительную оценку. Умножь делитель на выбранную цифру: произведение не должно превышать рассматриваемую часть, а для следующей цифры должно уже превышать её.
Можно потерять разряд в частном или забыть снести следующую цифру делимого. Тогда цифры частного сдвигаются и дают число другого значения. Сверяй каждый шаг: после вычитания сноси ровно одну следующую цифру, а если делитель не помещается, записывай в соответствующем разряде частного ноль.
Ещё одна ошибка — проверить только умножением частного на делитель и не прибавить остаток. Тогда проверка не учитывает часть делимого, оставшуюся после составления полных групп. Выполни обе операции: умножь делитель на неполное частное, прибавь остаток и сравни сумму с исходным делимым.
Для деления с остатком нужны таблица умножения, связь деления с умножением и умение делить многозначные числа уголком. Эти знания помогают выбирать цифры частного и проверять их произведением. В текстовых задачах деление с остатком описывает равное распределение предметов и составление групп, когда не всё делимое распределяется поровну. Навык пригодится и дальше: он помогает делить натуральные числа и проверять вычисления.
Что означает неполное частное?
Неполное частное — это число целых раз, которое делитель содержится в делимом. Например, при делении 157 на 12 неполное частное равно 13: можно выделить 13 полных групп по 12.
Почему остаток всегда должен быть меньше делителя?
Если остаток равен делителю или больше него, из него можно выделить ещё одну полную группу. Значит, неполное частное найдено не до конца. Поэтому остаток должен быть неотрицательным и строго меньше делителя.
Как проверить деление многозначного числа с остатком?
Умножь делитель на неполное частное и прибавь остаток. Полученное число должно совпасть с делимым. Затем проверь, что остаток меньше делителя.
Как выбрать цифру частного при делении уголком?
Выбирай наибольшую цифру, произведение делителя на которую не превосходит рассматриваемую часть делимого. Если следующая цифра дала бы произведение больше этой части, она не подходит. После вычитания снеси следующую цифру делимого.
Что делать, если при делении уголком в частном появляется ноль?
Запиши ноль в частное, если на текущем шаге делитель не помещается в рассматриваемой части делимого. Ноль сохраняет правильные разряды цифр частного. Затем снеси следующую цифру и продолжай деление.
Урок 20.Деление многозначного числа с остатком
