"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В., Разумовский В.А. и др.
Деление с остатком помогает узнать, сколько раз одно число помещается в другом, и что остаётся после этого. При делении многозначного числа частное находят по разрядам: начинают со старших цифр, подбирают цифру частного, вычитают произведение делителя и сносят следующую цифру. Остаток всегда меньше делителя. Результат можно проверить равенством: делимое равно произведению делителя на неполное частное плюс остаток.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Деление с остатком — представление делимого в виде произведения делителя на неполное частное и остатка. Его записывают так: a = bq + r, где a — делимое, b — делитель, q — неполное частное, r — остаток. Такая запись показывает, как разделить число на равные группы и учесть то, что не вошло в целые группы.
Неполное частное — целое число, показывающее, сколько раз делитель содержится в делимом без превышения. Например, при делении 47 на 6 можно взять семь шестёрок, но восемь уже дадут 48, то есть больше 47. Поэтому неполное частное нужно, чтобы указать наибольшее допустимое количество целых групп.
Остаток — число, которое остаётся после выделения неполного частного; он меньше делителя и не может быть отрицательным. Если делить 47 на 6, после выделения семи шестёрок останется 5. Остаток нужен, чтобы равенство деления точно воспроизводило исходное число.
Деление многозначного числа с остатком — последовательное нахождение цифр неполного частного при делении многозначного делимого. Деление выполняют по разрядам, начиная со старших, а после каждого шага переходят к следующей цифре делимого. Такой порядок позволяет использовать деление столбиком и не терять разрядное значение цифр.
При делении с остатком делимое представляют равенством a = bq + r. Здесь bq — часть делимого, которая составлена из целого числа групп по b, а r — оставшаяся часть. Это равенство связывает все числа в примере, поэтому по нему можно не только записать результат, но и проверить его. Например, если известно частное и остаток, произведение слагаемых вместе с остатком должно дать исходное делимое.
Остаток должен быть неотрицательным и меньше делителя. Отрицательный остаток означал бы, что из делимого вычли слишком много, а остаток, равный делителю или больший него, означает, что можно выделить ещё одну группу. Поэтому в правильном результате выполняется 0 ≤ r < b. Это условие помогает заметить ошибку даже тогда, когда вычисления столбиком выглядят аккуратно.
Многозначное деление начинают со старших разрядов: выбирают первую часть делимого, которая не меньше делителя. Если начать с меньшей части, в ней нельзя выделить ни одной целой группы, и цифру частного определить не получится. Выбранную часть делят на делитель и находят наибольшую подходящую цифру частного: её произведение на делитель не должно превышать эту часть. Так первая цифра частного соответствует правильному разряду.
После вычитания произведения делителя на найденную цифру к остатку сносят следующую цифру делимого. Получившееся число называют очередным неполным делимым: в нём уже учитывается оставшаяся часть предыдущего шага и следующая цифра. Его снова делят на тот же делитель, находят очередную цифру частного и вычитают произведение. Повторение этих действий позволяет обработать цифры делимого по порядку.
В конце проверяют, что делитель, умноженный на неполное частное, вместе с остатком даёт делимое. Для этого достаточно выполнить умножение и сложение, а затем отдельно убедиться, что остаток меньше делителя. Проверка нужна потому, что в столбике легко ошибиться в подборе цифры или при сносе. Если равенство не выполняется, значит, в вычислениях или записи результата есть ошибка.
| Этап | Что делаем | Что проверяем |
|---|---|---|
| Выделение первого неполного делимого | Берём слева наименьшую часть делимого, которая не меньше делителя. | Можно ли разделить эту часть на делитель хотя бы один раз. |
| Нахождение очередной цифры частного | Подбираем наибольшую цифру, произведение которой на делитель не превышает неполное делимое. | Произведение не больше неполного делимого, а следующая цифра была бы уже велика. |
| Вычитание и снос следующей цифры | Вычитаем найденное произведение и приписываем к остатку следующую цифру делимого. | Цифры сносятся слева направо, без пропусков и перестановок. |
| Запись результата и проверка остатка | Записываем частное и остаток, затем умножаем делитель на частное и прибавляем остаток. | Сумма равна делимому, а остаток неотрицателен и меньше делителя. |
Пользуйся таблицей как последовательностью действий: переходи к следующей строке только после проверки предыдущего шага. Особенно внимательно следи за разрядами при сносе цифр и при записи частного. В конце проверь и равенство, и условие для остатка.
Нужно найти наибольшее число шестёрок, которое помещается в 47, а затем определить, сколько единиц останется. Сначала подберём частное, сравнивая соседние кратные числа 6. После этого проверим, что остаток меньше делителя.
Ответ: 47 : 6 = 7 (ост. 5).
В числе 538 начинаем с цифры 5, но 5 меньше 7, поэтому берём первые две цифры — 53. Далее каждую найденную цифру частного проверяем умножением на 7. После вычитания нужно сносить следующую цифру делимого, сохраняя порядок записи.
Ответ: 538 : 7 = 76 (ост. 6).
Делитель двузначный, поэтому сначала рассматриваем часть делимого, которая не меньше 23. Начинаем с 45 и подбираем цифру, чтобы произведение на 23 не превысило эту часть. Затем сносим оставшиеся цифры по одной и повторяем подбор.
Ответ: 4567 : 23 = 198 (ост. 13).
Иногда в частное записывают цифру, произведение которой больше неполного делимого. Так бывает, если выбирают цифру на глаз и не проверяют умножением. Перед вычитанием посчитай произведение; если оно больше, уменьши цифру частного. Убедись также, что следующая цифра уже не подходит.
Можно забыть снести следующую цифру делимого или приписать её не в том порядке. Тогда получится другое неполное делимое, и все последующие цифры частного окажутся неверными. После каждого вычитания отмечай, какая цифра использована, и бери следующую по записи числа. Сверь порядок с исходным делимым, прежде чем продолжить.
Если очередное неполное делимое меньше делителя, некоторые пропускают ноль в частном. Из-за этого меняется разрядное значение следующих цифр: например, десятки могут ошибочно превратиться в единицы. Записывай ноль в соответствующем разряде, когда делитель не помещается ни разу. Проверить запись можно по количеству разрядов и обратным умножением.
Остаток иногда оставляют равным делителю или большим него. Эту ошибку допускают, когда останавливаются после первого подходящего вычитания и не проверяют остаток. Если остаток не меньше делителя, вычти делитель ещё раз и увеличь частное на единицу. В конце обязательно проверь условие 0 ≤ r < b.
Для деления многозначных чисел нужны знание таблицы умножения и умение делить с остатком на однозначное число. Подбор цифр частного опирается на умножение: нужно быстро сравнивать произведения делителя на возможные цифры. Также важно понимать порядок действий при делении столбиком, чтобы не терять разряды и правильно сносить цифры.
Деление с остатком помогает проверять делимость: число делится нацело, если остаток равен нулю. Оно встречается и в задачах на равное распределение предметов или составление групп, когда предметы распределить без остатка не получается. Остаток показывает, сколько предметов останется после составления всех полных групп.
Что такое неполное частное?
Это целое число, показывающее, сколько раз делитель можно взять, не превысив делимое. Например, при делении 47 на 6 неполное частное равно 7.
Почему остаток должен быть меньше делителя?
Если остаток не меньше делителя, его можно разделить на делитель ещё хотя бы один раз. Тогда частное можно увеличить, а остаток уменьшить, значит, прежнее деление выполнено не до конца.
С какой части многозначного числа начинают деление?
Деление начинают со старших разрядов. Берут наименьшую начальную часть делимого, которая не меньше делителя, чтобы можно было определить первую цифру частного.
Когда в частном нужно записывать ноль?
Ноль записывают, когда очередное неполное делимое меньше делителя и ни одной целой группы выделить нельзя. Он сохраняет правильное место цифр в частном.
Как проверить деление с остатком?
Умножьте делитель на неполное частное и прибавьте остаток. Должно получиться исходное делимое; также проверьте, что остаток неотрицателен и меньше делителя.
Урок 21.Деление многозначного числа с остатком
