"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В., Разумовский В.А. и др.
При делении многозначных чисел делитель бывает неудобным для устного счёта. Его временно заменяют близким круглым числом, чтобы оценить частное и подобрать его цифру. Такая оценка не даёт готового ответа: каждую пробную цифру проверяют умножением на исходный делитель. Если произведение слишком велико или остаток не меньше делителя, цифру исправляют. Приём помогает быстрее выполнять письменное деление и контролировать каждый шаг.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Делитель — число, на которое делят другое число. Например, в записи 672 : 28 делитель — 28. Иногда его заменяют близким удобным числом, потому что делить на круглое число проще и это помогает быстрее прикинуть ответ.
Округление делителя — замена делителя близким числом, удобным для устного счёта. Например, 28 можно временно представить как 30. Такая замена нужна не для изменения задачи, а чтобы прикинуть, сколько раз делитель помещается в рассматриваемой части делимого.
Приближённое частное — оценка результата деления, найденная с помощью округлённого делителя. Она показывает возможную цифру частного, но не всегда совпадает с точной. Поэтому результат оценки обязательно проверяют с исходным делителем.
Пробная цифра частного — предполагаемая цифра частного, которую проверяют умножением на исходный делитель. Например, если оценка подсказывает цифру 3, нужно умножить 3 на точный делитель. Проверка показывает, можно ли оставить эту цифру или следует подобрать другую.
При письменном делении нужно выяснить, сколько раз делитель помещается в части делимого. Если делитель, например, 28, устно считать с ним не так удобно, как с 30. Поэтому его округляют и используют круглое число как ориентир. Так проще быстро выбрать начальную цифру частного, а не перебирать варианты наугад.
Для оценки берут ту часть делимого, с которой сейчас выполняется деление, и делят её на округлённый делитель. Полученное число подсказывает пробную цифру нужного разряда частного. Если делитель округлили вверх, оценка часто получается меньше подходящей цифры; если округлили вниз, она может оказаться больше. Это лишь ориентир, поэтому цифру нельзя сразу считать точной.
Округлённый делитель не равен исходному, а значит, и результат деления на него может отличаться. Если оставить оценку без проверки, в частном появится неверная цифра, а дальнейшие вычисления тоже собьются. Умножение пробной цифры на точный делитель возвращает нас к исходной задаче и показывает, сколько действительно нужно вычесть.
Сравни полученное произведение с той частью делимого, которую делишь на данном шаге. Если произведение больше этой части, пробная цифра завышена: после вычитания получилось бы отрицательное число, что невозможно в этом шаге деления. Тогда цифру уменьшают и снова умножают на исходный делитель. Если произведение не превышает делимое, его можно вычесть.
После вычитания проверь остаток. Он должен быть меньше исходного делителя, иначе в остатке ещё помещается делитель и цифра частного была выбрана слишком маленькой. Увеличь пробную цифру, снова проверь произведение и пересчитай остаток. Так на каждом шаге получают правильную цифру, а в конце деление можно проверить умножением частного на делитель.
| Ситуация | Действие | Что проверить |
|---|---|---|
| Делитель округляется вверх | Используй округлённое число для оценки пробной цифры. | Не слишком ли мала оценка при проверке исходным делителем. |
| Делитель округляется вниз | Прикинь цифру частного, разделив нужную часть делимого на округлённый делитель. | Не завышена ли цифра: точное произведение не должно превышать делимое. |
| Пробная цифра дала слишком большое произведение | Уменьши цифру и повтори умножение. | Произведение на исходный делитель не больше делимого на этом шаге. |
| Остаток оказался не меньше исходного делителя | Увеличь цифру частного и пересчитай остаток. | Остаток меньше исходного делителя. |
Сначала используй округление только для выбора пробной цифры, а затем проверяй её точным делителем. Таблица помогает понять, в какую сторону исправлять цифру по результату проверки или по остатку.
Округлим 28 до 30: с круглым делителем проще оценить, сколько раз он помещается в первых цифрах делимого. Берём 67 и получаем пробную цифру 2, поскольку 30 × 2 = 60, а 30 × 3 = 90 уже больше 67.
Проверим цифру точным делителем: 28 × 2 = 56. Произведение не превышает 67, значит, вычитаем 56 и получаем остаток 11. Теперь сносим следующую цифру делимого, 2, и получаем 112.
Оценка 112 : 30 подсказывает цифру 3. Но проверка показывает, что 28 × 3 = 84, а остаток 112 − 84 = 28. Остаток равен исходному делителю, значит, цифра мала: увеличиваем её до 4.
Проверяем: 28 × 4 = 112, остаток равен 0. Записываем цифру 4 в частное после двойки и получаем 24. Проверка умножением даёт 24 × 28 = 672.
Ответ: 24.
Возьмём первые две цифры делимого — 93. Округлим 24 до 20: 93 : 20 примерно равно 4, поэтому пробуем цифру 4. Поскольку округление выполнено вниз, оценка может быть завышенной, и это нужно проверить.
Умножаем на исходный делитель: 24 × 4 = 96. Это больше 93, поэтому цифра 4 не подходит. Уменьшаем её до 3: 24 × 3 = 72, произведение не превышает 93.
Вычитаем: 93 − 72 = 21. Остаток меньше 24, значит, первая цифра подобрана правильно. Сносим 6 и получаем 216.
Для 216 округление 24 до 20 даёт оценку около 10, но здесь подбирается одна цифра частного. Пробуем 9: 24 × 9 = 216, остаток равен нулю. Получаем частное 39; проверка: 39 × 24 = 936.
Ответ: 39.
Округлим 28 до 30 и возьмём 57. Оценка подсказывает первую цифру частного 2. Проверяем: 28 × 2 = 56, вычитаем из 57 и получаем остаток 1.
Сносим цифру 3, получаем 13. Оно меньше 28, поэтому цифра частного в этом разряде — 0: делитель ещё не помещается. Остаток 13 переносим дальше и сносим следующую цифру 6, получая 136.
Оценка 136 : 30 подсказывает пробную цифру 4. Проверяем по исходному делителю: 28 × 4 = 112, а 28 × 5 = 140 больше 136. Значит, цифра 4 подходит; после вычитания получаем 136 − 112 = 24.
Промежуточные остатки равны 1, 13 и 24; последний меньше 28, поэтому деление завершено. В частном записываем цифры 2, 0 и 4: получаем 204. Проверка: 204 × 28 = 5736.
Ответ: 204.
Первая ошибка — считать округлённый делитель точным и записать оценку как готовый ответ. Так поступают, потому что округление облегчает счёт и результат кажется убедительным. Но оценка может отличаться от точного частного; проверь деление умножением на исходный делитель.
Вторая ошибка — проверять пробную цифру умножением на округлённое число. Оно уже изменено, поэтому такая проверка не подтверждает правильность вычисления исходного примера. Умножай цифру только на первоначальный делитель и сравнивай произведение с делимым на текущем шаге.
Третья ошибка — оставить цифру, хотя произведение оказалось больше делимого на данном шаге. Это бывает, когда ученик доверяет приблизительной оценке и забывает о проверке. Уменьши пробную цифру и повтори умножение: произведение должно быть не больше делимого.
Четвёртая ошибка — не проверять остаток после вычитания. Остаток, равный делителю или больший него, означает, что делитель можно вычесть ещё раз и цифра частного слишком мала. Увеличь её и пересчитай; правильный остаток должен быть меньше исходного делителя.
Для этого приёма нужны навыки письменного деления многозначных чисел, умножения и вычитания столбиком. Округление делителя связано с округлением чисел и оценкой результата: сначала получают приблизительный ориентир, а затем уточняют его точной проверкой. При письменном делении этот способ помогает подбирать цифры частного и замечать ошибки. Он также позволяет проверить, разумен ли полученный ответ.
Зачем округлять делитель, если в примере дано точное число?
Округлённое число легче использовать для устной оценки подходящей цифры частного. Оно не заменяет точный делитель при вычислении: выбранную цифру обязательно проверяют умножением на исходное число.
До какого числа округлять делитель?
Выбирай близкое число, с которым удобно делить устно, например 28 можно округлить до 30. Округление может быть как вверх, так и вниз, поэтому пробную цифру нужно проверять на исходном делителе.
Почему пробную цифру нужно проверять именно исходным делителем?
В задаче требуется разделить на точный делитель, а округлённый даёт только приблизительную оценку. Умножение на исходное число показывает, не завышена ли пробная цифра и какой остаток получится.
Что делать, если произведение оказалось больше делимого?
Пробная цифра слишком велика, поэтому её нужно уменьшить. Затем снова умножь новую цифру на исходный делитель и проверь произведение.
Как проверить, что остаток получен правильно?
После вычитания умноженного делителя остаток должен быть неотрицательным и меньше исходного делителя. Если он не меньше делителя, цифра частного подобрана слишком мало: её нужно увеличить и выполнить проверку заново.
Урок 22.Прием округления делителя
