"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В., Разумовский В.А. и др.
Умножение и деление многозначных чисел часто можно упростить, если в записи есть разрядные единицы или конечные нули. При умножении на 10, 100 и 1000 цифры переходят в более высокие разряды, а при делении — в более низкие. Нули в обоих множителях учитывают вместе, а при делении на одинаковое количество нулей сокращают делимое и делитель. Эти приёмы ускоряют устные вычисления, но результат всегда полезно проверить обратным действием.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Умножение на разрядную единицу — это умножение числа на 10, 100, 1000 и другие числа, записанные единицей с нулями. При умножении цифры числа переходят в более высокие разряды, а нули помогают записать новое значение. Этот приём нужен, чтобы быстро выполнять вычисления с десятками, сотнями и тысячами.
Умножение чисел, оканчивающихся нулями, — это умножение их частей без конечных нулей с последующим приписыванием к произведению всех отброшенных нулей. Например, у множителей 240 и 30 части без нулей — 24 и 3. Такой способ упрощает вычисление и помогает не потерять разряды в ответе.
Деление на разрядную единицу — это деление числа на 10, 100, 1000 и другие числа такого вида. При делении разряды переходят в обратном направлении, а деление может быть как точным, так и с остатком. Понимание разрядов помогает определить, можно ли записать частное сразу или нужно вычислять его обычным способом.
Деление чисел, оканчивающихся нулями, выполняют после сокращения делимого и делителя на одинаковое количество конечных нулей. Частное при этом не меняется, потому что оба числа делят на один и тот же множитель. Этот приём нужен для упрощения записи и самого вычисления.
При умножении на 10, 100 или 1000 каждая цифра числа оказывается в разряде, который выше исходного на один, два или три порядка. Это происходит потому, что умножение на 10 увеличивает значение каждой цифры в десять раз. Поэтому к записи целого числа приписывают столько нулей, сколько их в разрядной единице: 348 · 1000 = 348 000. Если исходное число содержит нули, ориентируйся на разрядный сдвиг и значение цифр, а не только на внешний вид записи.
Чтобы умножить числа с конечными нулями, удобно представить каждый множитель как произведение числа без нулей и соответствующей степени десяти. Например, 240 = 24 · 10, а 30 = 3 · 10. Тогда 240 · 30 = 24 · 3 · 10 · 10 = 72 · 100 = 7200. Нули учитываются у обоих множителей, потому что каждый из них вносит свой множитель 10 в общее произведение.
При делении на 10, 100 или 1000 значение каждой цифры уменьшается соответственно в 10, 100 или 1000 раз, поэтому разряды перемещаются в обратную сторону. Если делимое содержит достаточно конечных нулей, частное можно записать, отбросив соответствующее их количество: 56 000 : 100 = 560. Но если деление не точное, просто удалять цифры нельзя: например, 56 123 : 100 не даёт целого частного без остатка. Тогда деление рассматривают обычным способом или записывают частное с остатком.
При делении чисел с нулями используют то, что делимое и делитель можно одновременно разделить на одно и то же ненулевое число. Если у обоих есть конечные нули, можно сократить одинаковое их количество: 18 900 : 300 = 189 : 3. Оба исходных числа разделили на 100, поэтому их отношение сохранилось. Если после сокращения получилось простое деление, вычисление завершено; если нет, оставшуюся часть находят обычным письменным способом.
Проверка обратным действием помогает обнаружить ошибку в вычислении или записи нулей. При точном делении произведение частного и делителя должно равняться делимому: если 189 : 3 = 63, то 63 · 3 = 189. Проверка особенно полезна после сокращения нулей, потому что позволяет заметить, если у делимого и делителя сократили разное количество. При делении с остатком к произведению частного и делителя нужно прибавить остаток.
| Случай | Как вычислять | Пример |
|---|---|---|
| Умножение на 10, 100, 1000 | Перенести цифры в более высокие разряды; число нулей задаёт сдвиг. | 348 · 1000 = 348 000 |
| Умножение чисел, оканчивающихся нулями | Умножить части без нулей и приписать нули обоих множителей. | 240 · 30 = 7200 |
| Деление на 10, 100, 1000 | Перенести разряды в обратном направлении; проверить, точное ли деление. | 56 000 : 100 = 560 |
| Деление чисел, оканчивающихся нулями | Сократить у делимого и делителя одинаковое количество конечных нулей. | 18 900 : 300 = 189 : 3 = 63 |
| Проверка результата обратным действием | Умножить частное на делитель и сравнить произведение с делимым. | 63 · 300 = 18 900 |
Сначала найди в записи чисел конечные нули и определи, выполняется умножение или деление. Затем выбери подходящую строку таблицы и проверь, что нули учтены правильно. Для деления заверши вычисление проверкой умножением.
Число 1000 — разрядная единица с тремя нулями. Значит, при умножении каждая цифра числа 348 переходит на три разряда выше: единицы становятся тысячами, десятки — десятками тысяч, сотни — сотнями тысяч. Чтобы записать результат целым числом, приписываем три нуля.
Ответ: 348 000.
Оба множителя оканчиваются нулями, поэтому отделяем конечные нули и умножаем оставшиеся части. У числа 240 один конечный ноль, у числа 30 тоже один. После умножения частей нужно вернуть оба нуля, иначе результат будет в сто раз меньше настоящего.
Ответ: 7200.
У делимого и делителя есть конечные нули. Сократим по два нуля у каждого, то есть разделим оба числа на 100. Частное останется тем же, потому что делимое и делитель уменьшены в одинаковое число раз. После этого деление 189 на 3 можно выполнить устно.
Ответ: 63.
При умножении на разрядную единицу иногда приписывают не то количество нулей. Так происходит, когда ученик не считает нули в 10, 100 или 1000 и действует наугад. Перед записью ответа посчитай разряды, на которые сдвигаются цифры, и проверь умножением на простом примере.
При умножении чисел с конечными нулями можно забыть ноль одного множителя или приписать лишний. Обычно это случается, если считают нули только у первого числа или только у второго. Выпиши количество нулей отдельно у каждого множителя, сложи их и только затем дописывай результат.
При делении иногда сокращают разное количество нулей у делимого и делителя. Тогда числа изменяются в разное число раз, и частное становится неправильным. Отмечай сокращаемые нули парами и проверь ответ умножением частного на исходный делитель.
Не всякое деление на 10 или 100 позволяет просто отбросить цифры в конце записи. Такой приём подходит для точного деления, когда разрядная запись числа это позволяет; при делении без остатка иначе можно потерять часть значения. Уточни, делится ли число нацело, а после вычисления проверь произведение частного и делителя.
Для этих вычислений нужны письменные умножение и деление многозначных чисел: если сокращение нулей не сделало пример простым, можно продолжить обычным способом. Разрядный состав числа объясняет, почему при умножении и делении меняется положение цифр, а свойства действий позволяют упрощать запись. Эти приёмы помогают считать устно, работать с крупными величинами и переводить единицы измерения. Например, при переводе метров в миллиметры или рублей в копейки часто встречаются множители 10, 100 и 1000.
Почему при умножении на 100 к числу обычно приписывают два нуля?
В числе 100 две цифры нуля, поэтому при умножении целого числа его цифры переходят на два разряда выше. Например, 34 · 100 = 3400. Если у числа уже есть конечные нули, результат удобнее записать с учётом разрядов, а не механически дописывать нули.
Что делать, если один из множителей оканчивается нулями?
Сначала умножь части множителей без конечных нулей. Затем припиши к произведению конечные нули обоих множителей. Например, 240 · 30: вычисляем 24 · 3 = 72 и приписываем три нуля, получаем 7200.
Почему при умножении чисел с нулями учитывают нули обоих множителей?
Каждый конечный ноль показывает, что число содержит дополнительный множитель 10. Значит, нули присутствуют у обоих множителей и все они входят в произведение. Если учесть только нули одного числа, значение ответа окажется уменьшено.
Можно ли при делении отбросить все нули в делимом и делителе?
Можно сократить только одинаковое количество конечных нулей у делимого и делителя. Если нулей в записях разное число, оставшиеся нули сохраняют. Сокращение меняет записи чисел, но не их отношение, поэтому частное остаётся прежним.
Как проверить результат деления многозначных чисел?
Умножь частное на делитель: должно получиться делимое. Например, если 18 900 : 300 = 63, то проверка: 63 · 300 = 18 900. Если деление было с остатком, нужно умножить частное на делитель и прибавить остаток.
Урок 23.Особые случаи умножения и деления многозначных чисел
