Урок 24.Особые случаи умножения и деления многозначных чисел

Определения и обозначения

Многозначное число — это число, записанное несколькими цифрами. Значение цифры зависит от её разряда: в числе 438 цифра 4 означает 4 сотни, 3 — 3 десятка, а 8 — 8 единиц. Разрядный состав помогает понять, почему при умножении и делении цифры меняют своё положение.

Разрядная единица — это число 10, 100, 1000 и так далее. В его записи единица стоит в определённом разряде, а справа от неё находятся нули: 10 — один десяток, 100 — одна сотня, 1000 — одна тысяча. Знание разрядных единиц позволяет быстро выполнять действия с нулями.

Умножение на разрядную единицу — это умножение числа на 10, 100, 1000 или другое число такого вида. При таком действии число увеличивается в столько раз, сколько показывает разрядная единица. Этот приём заменяет длинную запись письменного умножения.

Деление на разрядную единицу — это деление числа на 10, 100, 1000 и другие подобные числа. Если деление выполняется нацело, число уменьшается в 10, 100 или 1000 раз. Такой способ особенно удобен, когда делимое оканчивается нужным количеством нулей.

Как это устроено

При умножении на 10 каждая цифра переходит на один разряд влево, потому что значение каждой разрядной единицы увеличивается в 10 раз. При умножении на 100 сдвиг происходит на два разряда, а при умножении на 1000 — на три. Например, 438 · 100 = (400 + 30 + 8) · 100 = 40 000 + 3000 + 800 = 43 800. Поэтому справа к записи целого числа обычно приписывают два нуля.

Если оба множителя оканчиваются нулями, нули можно временно не учитывать. Например, в произведении 320 · 40 сначала умножают 32 · 4, потому что 320 = 32 · 10, а 40 = 4 · 10. Затем к результату 128 приписывают два нуля: по одному от каждого множителя. Так сохраняется настоящий множитель 10 · 10 = 100.

При делении числа, оканчивающегося нулями, на 10, 100 или 1000 нули убирают в количестве, указанном делителем. Это верно потому, что конечные нули показывают наличие множителей 10, 100 или 1000: например, 18 900 : 100 = 189. Если делитель равен 1000, для такого сокращения нужны три конечных нуля у делимого. Деление нацело гарантирует, что после удаления нулей получится правильное частное.

Когда и делимое, и делитель оканчиваются нулями, у них можно убрать одинаковое количество нулей. Например, 18 900 : 300 превращается в 189 : 3, поскольку оба числа разделили на 100. Частное не изменилось, так как деление двух чисел на один и тот же ненулевой множитель сохраняет их отношение. Результат полезно оценить: 18 900 разделили примерно на 300, значит ответ около 60, а не 6 или 600.

Особые случаи умножения и деления чисел, оканчивающихся нулями

Сначала определите, к какому случаю относится пример, а затем выполните действие по соответствующей строке. После вычисления сравните ответ с исходными числами и воспользуйтесь обратным действием.

Таблица особенно полезна, когда в примере несколько конечных нулей. Она помогает не перепутать число нулей при умножении и не сократить их неодинаково при делении.

Разбор задач

Задача 1. Вычисли 438 · 100

Множитель 100 является разрядной единицей с двумя нулями. Значит, каждая цифра числа 438 должна перейти на два разряда влево. Можно также разложить число по разрядам и умножить каждую часть.

1. Представим число: 438 = 400 + 30 + 8.
2. Умножим части на 100: 400 · 100 = 40 000, 30 · 100 = 3000, 8 · 100 = 800.
3. Сложим результаты: 40 000 + 3000 + 800 = 43 800.

Ответ: 43 800. Быстрая запись даёт тот же результат: к 438 приписываем два нуля.

Задача 2. Вычисли 320 · 40

Оба множителя оканчиваются нулём, поэтому сначала отделим эти нули. В числе 320 один конечный ноль, и в числе 40 тоже один, значит всего будет учтено два нуля. Ненулевые части равны 32 и 4.

1. Умножим ненулевые части: 32 · 4 = 128.
2. Подсчитаем отброшенные нули: один у 320 и один у 40, всего два.
3. Припишем два нуля к 128: получим 12 800.

Ответ: 12 800. Проверка оценкой подтверждает результат: 320 примерно равно 300, а 40 — примерно 40, произведение должно быть около 12 000.

Задача 3. Вычисли 18 900 : 300 и проверь результат

В делимом и делителе есть конечные нули, причём у 300 их два. Уберём по два нуля у обоих чисел, разделив их на 100. После этого останется простое действие 189 : 3.

1. Сократим одинаковые разрядные множители: 18 900 : 300 = 189 : 3.
2. Разделим: 189 : 3 = 63.
3. Проверим умножением: 63 · 300 = 18 900.

Ответ: 63. Проверка совпала с делимым, поэтому частное найдено верно.

Типичные ошибки

Приписывают нули только одного множителя. Так происходит, когда ученик видит ноль только в первом числе и забывает проверить второе. Например, в 320 · 40 нужно учесть два нуля, поэтому правильный ответ 12 800, а не 1280. Пересчитайте конечные нули у обоих множителей.

При делении на 100 убирают один ноль. Ошибку вызывает смешение правил для деления на 10 и на 100. У числа 7200 при делении на 100 убираются два нуля: 7200 : 100 = 72. Проверьте себя умножением 72 · 100.

У делимого и делителя убирают разное количество нулей. Иногда ученик сокращает все нули только у одного числа, хотя так изменяется частное. Сокращать можно лишь одинаковое количество нулей у делимого и делителя. После действия умножьте полученное частное на исходный делитель.

Нули приписывают до умножения ненулевых частей. Из-за этого можно получить неверный порядок величины и перепутать цифры. Сначала вычислите произведение оставшихся частей, например 32 · 4 = 128, и только потом добавьте нули. Оценка ответа покажет, не стал ли результат слишком маленьким или большим.

Связь с другими темами

До изучения этого приёма нужно уметь раскладывать многозначные числа по разрядам, знать таблицу умножения и деления. Также понадобятся правила умножения и деления на 10, 100 и 1000. Эти знания объясняют не только порядок вычислений, но и причину появления или исчезновения нулей.

Приёмы применяются в письменном умножении и делении многозначных чисел. Они помогают решать текстовые задачи о расстояниях, массе, стоимости и количестве предметов. Обратные действия и оценка порядка величины позволяют быстро проверять вычисления.

Что запомнить

• При умножении на 10, 100, 1000 число увеличивается соответственно в 10, 100, 1000 раз.
• При делении на 10, 100, 1000 число уменьшается соответственно в 10, 100, 1000 раз, если деление выполняется нацело.
• При умножении чисел с конечными нулями сначала умножают части без нулей.
• После умножения приписывают столько нулей, сколько всего было отброшено у множителей.
• При делении можно убрать одинаковое количество конечных нулей у делимого и делителя.
• Результат деления проверяют умножением частного на делитель.