"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В., Разумовский В.А. и др.
Круглые многозначные числа удобно вычислять по особым правилам: при умножении на 10, 100 и 1000 цифры переходят в более высокие разряды, а нули помогают быстро записать результат. При умножении чисел с конечными нулями сначала работают с ненулевыми частями, затем возвращают все нули. При делении круглых чисел одинаковые нули можно сократить у делимого и делителя, не изменяя частное. Эти приёмы ускоряют письменные вычисления и помогают проверять ответы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Круглое число — натуральное число, запись которого оканчивается одним или несколькими нулями: 40, 700, 12 000. Конечные нули показывают пустые разряды справа и помогают быстро выполнять действия с десятками, сотнями и тысячами. Например, 700 — это 7 сотен, а не просто число с лишними знаками.
Умножение на разрядную единицу — умножение на 10, 100, 1000 и другие числа вида 10ⁿ. При таком действии каждая цифра переходит в разряд, который в 10ⁿ раз больше прежнего. Это позволяет заменить длинное вычисление приписыванием нулей.
Деление на разрядную единицу — деление на 10, 100, 1000 и другие числа вида 10ⁿ. Результат будет целым, если делимое делится на выбранную разрядную единицу без остатка, например 4500 : 100 = 45. Если такого деления без остатка нет, появляются остаток или десятичная дробь.
Сокращение нулей при умножении и делении — это приём, при котором числа представляют как произведение или частное более простых чисел. При умножении нули временно не учитывают, а при делении одинаковое количество нулей удаляют у обоих чисел. Такой приём сохраняет значение выражения и уменьшает число действий.
Разрядная система устроена так, что каждая соседняя единица больше предыдущей в 10 раз: 1 десяток — это 10 единиц, 1 сотня — 10 десятков. Поэтому при умножении числа на 10 единицы становятся десятками, десятки — сотнями, а сотни — тысячами. При умножении на 100 или 1000 происходит такой переход сразу на два или три разряда, поэтому справа записывают два или три нуля.
Чтобы умножить два числа с конечными нулями, сначала выделяют их ненулевые части. Например, 240 · 300 = 24 · 3 · 10 · 100, то есть сначала получают 72, а затем учитывают три множителя 10. Значит, к 72 приписывают три нуля и получают 72 000.
При делении круглого числа на круглое используют равенство частного: если делимое и делитель разделить на одно и то же ненулевое число, результат не изменится. Поэтому в выражении 18 720 : 240 можно убрать по одному нулю и получить 1872 : 24. Удалять нужно одинаковое количество нулей у обоих чисел, иначе изменится отношение между ними.
Иногда у делимого недостаточно конечных нулей, чтобы сократить все нули делителя. Например, в выражении 1250 : 300 можно убрать только один общий нуль и получить 125 : 30. Дальше выполняют деление столбиком, находят частное с остатком или записывают результат в виде десятичной дроби.
Правило удобно проверять свойствами умножения. Переместительное свойство позволяет поменять множители местами, а сочетательное — объединить разрядные единицы: 24 · 3 · 10³ = (24 · 3) · 10³. Для деления проверка обратная: частное умножают на делитель и сравнивают результат с делимым.
| Случай | Как вычислять | Пример |
|---|---|---|
| Умножение на 10, 100, 1000 | Перенести цифры на один, два или три разряда влево и приписать соответствующее число нулей. | 436 · 1000 = 436 000 |
| Умножение двух чисел, оканчивающихся нулями | Перемножить части без конечных нулей, затем приписать нули обоих множителей. | 240 · 300 = 72 000 |
| Деление круглого числа на круглое | Сократить одинаковое количество конечных нулей у делимого и делителя, затем разделить оставшиеся числа. | 18 720 : 240 = 1872 : 24 = 78 |
| Деление на круглое число без полного сокращения нулей | Сократить только общие нули, а оставшееся деление выполнить столбиком или получить десятичную дробь. | 1250 : 300 = 125 : 30 |
| Проверка результата | При делении умножить частное на делитель; при умножении разделить произведение на один из множителей. | 78 · 240 = 18 720 |
Сначала определите, к какому случаю относится выражение: умножение на разрядную единицу, умножение двух круглых чисел или деление. Затем отделите ненулевые части и отдельно посчитайте конечные нули. После вычисления полезно выполнить обратное действие и проверить ответ.
Число 1000 является разрядной единицей и содержит три нуля. При умножении на неё каждая цифра числа 436 переходит на три разряда влево. Поэтому достаточно сохранить цифры 436 и добавить справа три нуля.
Ответ: 436 · 1000 = 436 000.
Оба множителя оканчиваются нулями, поэтому сначала убираем их только для промежуточного вычисления. В числе 240 один конечный нуль, в числе 300 — два, всего их три. После умножения ненулевых частей возвращаем все три нуля.
Ответ: 240 · 300 = 72 000.
Делимое и делитель оканчиваются нулями, значит, у них есть общий множитель 10. Сократим по одному нулю, чтобы получить более простое деление 1872 : 24. После нахождения частного выполним проверку умножением на исходный делитель.
Ответ: 18 720 : 240 = 78; проверка показывает, что результат верен.
При умножении круглых чисел иногда приписывают нули только одного множителя. Так происходит, если ученик смотрит лишь на последний множитель и не считает нули в обоих числах. Проверьте себя: сложите количество конечных нулей обоих множителей до вычисления.
При сокращении нулей можно удалить разное их количество у делимого и делителя. В таком случае делимое и делитель делятся на разные числа, поэтому частное меняется. Сокращайте только одинаковое число пар нулей и сравнивайте исходное выражение с преобразованным.
Нельзя механически отбрасывать нули при делении на 10, 100 или 1000, если делимое ими не оканчивается. Например, 46 : 10 не равно 46: результатом будет 4,6. Сначала определите, делится ли число на разрядную единицу без остатка.
Ещё одна ошибка — путать направление действия: при умножении на разрядную единицу число увеличивается, а при делении уменьшается. Оцените порядок результата: 35 · 100 должно быть больше 35, а 3500 : 100 — меньше 3500. Если это не так, проверьте знак действия и положение нулей.
Для этой темы нужны знания о разрядах многозначного числа, таблица умножения и деления, а также переместительное и сочетательное свойства умножения. Без них трудно понять, почему нули можно отделять от ненулевых частей. Полезно мысленно представлять число как произведение разрядных единиц.
Приёмы помогают в письменных вычислениях и решении задач, где встречаются большие количества, цены и расстояния. Они позволяют быстро оценить порядок ответа и заметить лишний или пропущенный нуль. Это особенно удобно при устной проверке результата.
Освоенные правила подготавливают к умножению и делению многозначных чисел столбиком. Позже те же идеи пригодятся при действиях с десятичными дробями, где разрядная единица связана с переносом запятой. Смысл остаётся прежним: разряды изменяются в 10 раз при каждом переходе.
Почему при умножении на 100 к числу приписывают два нуля?
Число 100 — это две разрядные единицы: 10 · 10. При умножении на 10 каждая цифра переходит на один разряд влево, а при умножении на 100 — на два разряда. Поэтому справа появляются два нуля.
Сколько нулей нужно приписать при умножении 240 на 300?
В числе 240 один конечный нуль, а в числе 300 — два. Всего нужно приписать три нуля к произведению 24 · 3 = 72. Получаем 240 · 300 = 72 000.
Можно ли сокращать нули, если делимое и делитель оканчиваются разным числом нулей?
Можно сократить одинаковое количество нулей, например по одному у каждого числа. Лишние нули у одного из чисел не сокращают в одиночку: после общего сокращения выполняют обычное деление.
Что делать, если делимое не оканчивается нулём, а делитель оканчивается?
Общие нули сократить нельзя, поэтому деление выполняют столбиком или преобразуют деление с остатком в деление на разрядную единицу. Например, 1234 : 20 = 617 : 10 = 61,7, если допускаются десятичные дроби.
Как проверить деление круглых чисел?
Нужно умножить частное на делитель. Если получилось исходное делимое, вычисление выполнено верно. При делении с остатком проверяют равенство: делитель · частное + остаток = делимое.
Урок 25.Особые случаи умножения и деления многозначных чисел
