Урок 26.Особые случаи умножения и деления многозначных чисел

Определения и обозначения

Разрядная единица — это число 10, 100, 1000 и так далее. При умножении на 10 каждая цифра целого числа переходит на один разряд влево, при умножении на 100 — на два. Поэтому в целой записи справа добавляются нули: они показывают новые разряды единиц, десятков и сотен.

Умножение чисел, оканчивающихся нулями — это умножение их частей без конечных нулей с последующим учётом всех этих нулей. Например, 30 · 400 можно сначала представить как 3 · 4, а затем восстановить нули множителей. Такой приём помогает не выполнять длинное умножение, но требует внимательно пересчитать нули.

Деление чисел, оканчивающихся нулями — это сокращение делимого и делителя на одинаковое число конечных нулей, если такие нули есть у обоих чисел. Делимое — число, которое делят, а делитель — число, на которое делят. Сокращение упрощает вычисление, потому что заменяет оба числа меньшими, сохраняя их отношение и частное.

Деление на разрядную единицу — деление на 10, 100, 1000 и другие числа такого вида. При делении целого числа на 10 цифры смещаются на один разряд вправо, а при делении на 100 — на два; если разрядов не хватает, частное записывают с запятой. Это правило позволяет быстро вычислять и правильно ставить запятую в нецелом ответе.

Как это устроено

В записи числа каждая соседняя позиция отличается в десять раз: десять единиц составляют один десяток, десять десятков — одну сотню. Поэтому при умножении на 10 количество единиц каждого разряда становится в десять раз больше и записывается в следующем, более высоком разряде. Для целого числа это выглядит как добавление нуля справа; при умножении на 100 или 1000 добавляют два или три нуля. Например, 438 · 100 = 43 800: число стало в сто раз больше.

У числа, оканчивающегося нулями, можно отделить значащую часть — цифры до конечных нулей. При умножении сначала перемножают такие части, а затем учитывают, во сколько раз каждый множитель увеличен добавленными нулями. Каждый конечный ноль соответствует множителю 10, поэтому складывают количества нулей в обоих множителях и приписывают их к произведению. Так 3200 · 40 превращается в 32 · 4, после чего к 128 добавляют три нуля.

При делении одинаковое изменение делимого и делителя не меняет частного: если оба числа разделить на одно и то же ненулевое число, их отношение останется прежним. Удалить по одному конечному нулю у каждого числа — значит разделить оба на 10; удалить по два — значит разделить оба на 100. Поэтому нули можно сокращать только парами, в одинаковом количестве. Например, 18 900 : 300 можно заменить на 189 : 3.

Деление на 10, 100 или 1000 уменьшает число соответственно в 10, 100 или 1000 раз. В записи это означает переход цифр в более низкие разряды; для целого числа, которое не оканчивается нужным количеством нулей, частное может быть десятичным. Например, 438 : 10 = 43,8: запятая в частном отделяет десятые, потому что последняя цифра исходного числа стала десятыми. При делении на 100 запятая сдвигается на два разряда влево, а недостающие разряды заполняются нулями.

Обратное действие показывает, верно ли вычисление: произведение можно разделить на множитель, а частное умножить на делитель. Такая проверка выявляет ошибку в вычислении, но полезно ещё заранее оценить ответ. При умножении на разрядную единицу число должно заметно увеличиться, при делении — уменьшиться; число цифр и положение нулей должны соответствовать этому изменению. Если результат оказался меньше исходного после умножения, вероятно, нули посчитаны неверно.

Особые случаи умножения и деления многозначных чисел

В таблице собраны правила для четырёх случаев. Сначала определите, какое действие и какие числа даны, затем воспользуйтесь соответствующей строкой. После вычисления сверьте ответ с последним столбцом: он подсказывает, какое действие выполнить для проверки и на что обратить внимание.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 438 · 100. Здесь один множитель — разрядная единица. Умножение на 100 увеличивает каждую разрядную единицу в сто раз, поэтому целую запись достаточно дополнить двумя нулями справа. Перед записью результата проверим, что число стало больше исходного.

1. Определяем разрядную единицу: 100 содержит два нуля.
2. Записываем число 438 и приписываем два нуля: 43 800.
3. Проверяем порядок: 43 800 в 100 раз больше 438, как и должно быть.

Ответ: 43 800. Для проверки можно разделить произведение на 100: 43 800 : 100 = 438. Получилось исходное число, значит действие выполнено верно.

Задача 2. Вычислите 3200 · 40. Оба множителя оканчиваются нулями, поэтому отделим их значащие части. В числе 3200 два конечных нуля, а в числе 40 — один; всего три. После умножения значащих частей вернём эти три нуля в результат.

1. Убираем конечные нули и получаем значащие части 32 и 4.
2. Умножаем их: 32 · 4 = 128.
3. Складываем количества нулей: 2 + 1 = 3; приписываем их к 128 и получаем 128 000.

Ответ: 128 000. Прикидка подтверждает порядок: 3200 примерно равно 3000, а 40 — это четыре десятка, значит произведение должно быть больше ста тысяч. Если бы приписали только один или два нуля, ответ оказался бы слишком маленьким.

Задача 3. Вычислите 18 900 : 300 и проверьте результат. У делимого и делителя есть конечные нули, поэтому можно разделить оба числа на 100. Это не изменит частное, но упростит деление. Сократим только два нуля у каждого числа, поскольку у 300 всего два конечных нуля.

1. Делим делимое и делитель на 100: 18 900 : 100 = 189, 300 : 100 = 3.
2. Вычисляем частное: 189 : 3 = 63.
3. Проверяем умножением: 63 · 300 = 18 900.

Ответ: 63. Проверка дала исходное делимое, поэтому частное верно. Прикидка тоже подходит: 18 900 разделить примерно на 300 — это около 60, так что 63 выглядит разумно.

Типичные ошибки

При умножении чисел с нулями иногда приписывают нули только одного множителя. Так происходит, если после вычисления значащих частей забывают, что нули есть у обоих чисел. Пересчитайте нули в каждом множителе отдельно, сложите их количества и сравните результат с порядком произведения; например, у 3200 · 40 их три, а не один.

При делении некоторые убирают разное количество нулей у делимого и делителя. Это меняет отношение чисел, потому что фактически они разделены на разные числа. Сокращайте по одному нулю у каждого числа за один шаг и останавливайтесь, когда у одного из них нули закончатся; затем проверьте частное умножением на делитель.

При делении на 10 или 100 можно механически убрать нули, даже если исходное число на них не оканчивается. В таком случае частное может быть десятичным: например, 438 : 100 = 4,38, а не 438 без каких-либо изменений. Учитывайте все разряды и сдвигайте запятую влево на столько позиций, сколько нулей в делителе; недостающие разряды заполняйте нулями.

Ещё одна ошибка — перепутать направление изменения числа и при умножении на разрядную единицу уменьшить ответ или при делении увеличить его. Причина часто в том, что внимание сосредоточено только на нулях, а не на смысле действия. До вычисления прикиньте результат: умножение увеличивает число, деление уменьшает. Если ответ этому противоречит, перепроверьте действие и положение нулей или запятой.

Связь с другими темами

Для этих вычислений нужно знать разрядный состав многозначного числа и понимать, что каждая соседняя позиция отличается в десять раз. Также пригодятся таблица умножения и деления и связь между обратными действиями: деление проверяют умножением, а умножение — делением. Эти приёмы помогают при письменных вычислениях, когда числа велики, а также при оценке результата и решении задач с крупными величинами, например расстояниями или массами.

Что запомнить

• При умножении на 10, 100, 1000 число увеличивается в 10, 100, 1000 раз.
• При умножении чисел с нулями сначала перемножают части без нулей.
• К результату умножения приписывают нули обоих множителей.
• При делении делимого и делителя можно отбросить одинаковое количество нулей.
• Деление проверяют умножением частного на делитель.
• Перед вычислением полезно оценить, каким по величине должен быть ответ.