"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В., Разумовский В.А. и др.
Цилиндр — геометрическое тело с двумя равными кругами-основаниями и боковой поверхностью. Такие тела встречаются в быту: например, банку или трубу можно представить как цилиндр. Чтобы описывать цилиндр, нужно знать радиус основания, высоту и образующую. Развёртка помогает увидеть, почему боковая поверхность имеет форму прямоугольника и как находить её площадь. Площадь всей поверхности складывается из площади боковой части и площадей двух оснований.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Цилиндр — тело, ограниченное двумя равными кругами в параллельных плоскостях и боковой поверхностью. Его можно представить как объёмное тело, а не просто как плоский круг. Это определение помогает отличать цилиндр от круга и называть все части тела, площадь которых предстоит находить.
Основания цилиндра — два равных круга, расположенных в параллельных плоскостях. Центр и радиус каждого основания определяют его положение и размер. Понимание, где находятся основания, нужно, чтобы задавать высоту и рассчитывать площадь всей поверхности.
Ось цилиндра — отрезок, соединяющий центры оснований. Длина оси равна расстоянию между плоскостями оснований. По оси удобно описывать расположение оснований; для прямого цилиндра она перпендикулярна этим плоскостям.
Образующая цилиндра — отрезок боковой поверхности, соединяющий соответствующие точки окружностей оснований. У прямого цилиндра образующая равна высоте, но у наклонного они могут различаться. Это различие важно учитывать, прежде чем подставлять длину отрезка в задачу.
Представь, что прямоугольник вращается вокруг одной из своих сторон. Точка на стороне вращения остаётся на месте, а точки противоположной стороны описывают окружности, поэтому возникает боковая поверхность цилиндра и два его основания. Сторона, вокруг которой происходит вращение, становится осью, а расстояние до противоположной стороны задаёт радиус основания. Так можно увидеть, откуда берутся основные элементы цилиндра.
Основания получаются равными, потому что при вращении один и тот же отрезок образует окружности одного радиуса. Они лежат в параллельных плоскостях: каждая окружность возникает на своём уровне, а уровни не меняют направления. Поэтому у цилиндра совпадают размеры оснований, но они не занимают одно и то же место. Это объясняет, почему площадь каждого основания можно находить по одной и той же формуле.
У прямого цилиндра образующие идут параллельно оси и соединяют основания по направлению, перпендикулярному их плоскостям. Поэтому длина каждой образующей равна расстоянию между плоскостями, то есть высоте. У наклонного цилиндра соединяющие точки отрезки наклонены, и их длина уже не обязана равняться высоте. Значит, перед применением равенства образующей и высоты нужно проверить, что цилиндр прямой.
Чтобы получить развёртку, боковую поверхность разрезают по образующей и раскладывают на плоскости. Она становится прямоугольником: его ширина равна высоте цилиндра, а длина совпадает с окружностью основания. Если радиус основания равен r, длина этой окружности составляет 2πr. К прямоугольнику добавляют два круга-основания, и получается развёртка всей поверхности.
Площадь боковой поверхности равна площади прямоугольника развёртки, то есть произведению его сторон: Sбок = 2πr · h = 2πrh. Для полной площади нужно добавить два основания, каждое из которых имеет площадь πr². Поэтому Sполн = 2πrh + 2πr². Развёртка показывает, почему в первой формуле участвует длина окружности, а во второй к боковой части прибавляют площади двух кругов.
В таблице собраны названия элементов цилиндра и сведения, которые нужны при решении задач. Сначала найди известные величины: радиус, высоту или длину окружности, а затем выбери подходящую строку с формулой. В формулах проверь, что все длины выражены в одинаковых единицах.
| Что рассматриваем | Как определить или найти |
|---|---|
| Основания — два равных круга | Расположены в параллельных плоскостях |
| Радиус основания | Расстояние от центра основания до его окружности |
| Высота | Расстояние между плоскостями оснований |
| Образующая прямого цилиндра | Равна его высоте |
| Боковая поверхность в развёртке | Прямоугольник со сторонами h и 2πr |
| Площадь боковой поверхности | Sбок = 2πrh |
| Площадь полной поверхности | Sполн = 2πrh + 2πr² |
Условие: у прямого цилиндра радиус основания равен 3 см, а высота — 5 см. Найдите длину образующей. Здесь радиус не нужен для вычисления, но высота дана, а цилиндр прямо назван прямым. Поэтому можно воспользоваться равенством образующей и высоты.
Ответ: 5 см.
Условие: радиус основания цилиндра равен 4 см, высота — 6 см. Найдите площадь боковой поверхности. Боковая часть в развёртке — прямоугольник, поэтому нужна формула Sбок = 2πrh. Подставляем радиус и высоту, не площадь круга: радиус задаёт длину окружности основания, которая становится одной стороной прямоугольника.
Ответ: 48π см².
Условие: площадь полной поверхности цилиндра равна 48π см², радиус основания — 3 см. Найдите высоту. Полная площадь состоит из боковой поверхности и двух оснований, поэтому использовать нужно формулу Sполн = 2πrh + 2πr². После подстановки радиуса останется уравнение с одной неизвестной — высотой.
Ответ: 5 см.
Путать высоту с образующей у любого цилиндра — ошибка: их равенство установлено для прямого цилиндра. Её допускают, потому что в обоих случаях речь идёт об отрезках между основаниями. Перед вычислением выясни, прямой ли цилиндр, а высоту определяй как расстояние между плоскостями оснований.
Подставлять в формулу боковой площади площадь круга вместо длины окружности нельзя. Так ошибаются, смешивая разные формулы, хотя развёртка боковой поверхности — прямоугольник, а не круг. Проверь выражение: для стороны прямоугольника нужна длина окружности 2πr, поэтому Sбок = 2πrh.
В полной площади иногда учитывают только одно основание, забывая, что их два. Это происходит, когда формулу боковой поверхности просто дополняют площадью одного круга. Для проверки запиши обе части: 2πrh для боковой поверхности и 2πr² для двух оснований.
Подстановка диаметра вместо радиуса приводит к завышенному результату. Диаметр легко перепутать с радиусом, потому что обе величины измеряют расстояние поперёк круга. В формулах через r используй половину диаметра: если дан диаметр d, то r = d / 2.
Для работы с цилиндром нужны знания о круге, радиусе и диаметре, длине окружности и площади круга. Эти величины дают формулы 2πr и πr², которые появляются в вычислениях поверхности. Если известен только диаметр, сначала найди радиус, а затем подставляй его в формулы.
Развёртка связывает геометрию тела с плоскими фигурами: боковая часть превращается в прямоугольник, а основания остаются кругами. Такой подход помогает находить площади поверхностей и других тел, если их можно развернуть на плоскость. Достаточно определить фигуры развёртки и вычислить их площади.
Представление о цилиндре и его элементах понадобится при изучении объёмов геометрических тел. Площадь основания и высота, уже знакомые по этой теме, используются и в задачах об объёме. Поэтому полезно различать радиус, высоту и образующую, а также внимательно читать, какой именно элемент дан.
Чем цилиндр отличается от круга?
Круг — плоская фигура, а цилиндр — объёмное тело. У цилиндра есть два круга-основания и боковая поверхность.
Что называют осью и высотой цилиндра?
Ось цилиндра — отрезок, соединяющий центры его оснований. Высота — расстояние между плоскостями оснований; у прямого цилиндра она равна длине оси.
Всегда ли образующая равна высоте?
Нет, равенство верно для прямого цилиндра. У наклонного цилиндра образующая наклонена к плоскостям оснований и обычно длиннее высоты.
Почему развёртка боковой поверхности является прямоугольником?
Если разрезать боковую поверхность вдоль образующей и развернуть её, получится прямоугольник. Его ширина равна высоте цилиндра, а длина — длине окружности основания.
Как найти площадь полной поверхности цилиндра?
Нужно сложить площадь боковой поверхности и площади двух оснований. Формула: Sполн = 2πrh + 2πr², где r — радиус основания, h — высота.
Урок 8.Цилиндр
