Урок 7.Деление числа на произведение

Определения и обозначения

Деление числа на произведение — действие, при котором число делят на результат умножения двух или нескольких множителей. Например, в выражении 72:(3 · 4) число 72 делят на произведение 3 · 4. Такое представление удобно, когда произведение в скобках трудно вычислить или один из множителей помогает упростить деление.

Делимое — число, которое делят в выражении вида a:(b · c). В этой записи делимое обозначено буквой a, а результат деления зависит от того, на какое произведение его делят. Понимание роли делимого помогает не перепутать части выражения и правильно восстановить число в уравнении.

Делитель — произведение, на которое делят число; его множители задают последовательность последующих делений. Например, в записи a:(b · c) делителем является всё произведение b · c, а не только b или только c. Это нужно учитывать при вычислении: пройти следует по каждому множителю.

Правило деления числа на произведение гласит: число можно разделить на один множитель, а полученный результат разделить на другой. Например, a:(b · c) = (a:b):c, если b и c не равны нулю. Правило помогает заменить деление на произведение последовательными действиями и выбрать более удобный порядок вычислений.

Как это устроено

Почему деление на произведение b · c можно заменить делением сначала на b, затем на c? Пусть результат такого вычисления равен q: q = (a:b):c. По смыслу деления q · c = a:b, а значит, q · c · b = a. Перестановка множителей не меняет произведение, поэтому q · (b · c) = a, то есть q и есть частное от деления a на b · c.

То же правило можно получить из связи деления и умножения. Если q = a:(b · c), то по определению деления q · (b · c) = a. Так как умножение на произведение можно выполнить по множителям, имеем (q · c) · b = a; следовательно, a:b = q · c, а затем (a:b):c = q. Проверка обратным умножением проста: умножь полученное частное на все множители делителя — должно получиться исходное число.

Первый множитель выбирают не случайно: цель — сделать промежуточное вычисление простым. Если число делится на один из множителей без остатка, удобно начать с него; иногда результатом будет круглое число. Например, при делении 840 на 7 · 12 проще сначала разделить 840 на 12, чем сразу вычислять произведение делителей. После этого остаётся разделить частное на 7.

Скобки в записи a:(b · c) показывают, что делителем служит всё произведение. Без скобок выражение a:b · c выполняют слева направо: сначала делят a на b, затем результат умножают на c. Например, 24:(2 · 3) = 4, а 24:2 · 3 = 36, поэтому эти записи нельзя считать одинаковыми. Скобки задают смысл выражения, а не просто украшают запись.

Если делитель состоит из трёх или более множителей, деление продолжают последовательно на каждый из них: a:(b · c · d) = ((a:b):c):d. Такой порядок получается многократным применением правила для двух множителей. Оно подходит и для буквенных выражений, если делители не равны нулю, например x:(m · n) = (x:m):n; при вычислении числового выражения можно выбирать порядок, удобный именно для данных чисел.

Деление числа на произведение

Таблица показывает, как применять правило для двух и нескольких множителей и при каком условии деление имеет смысл. Сначала найди строку, подходящую к выражению, затем выбери удобный порядок делений. После вычисления полезно проверить результат умножением на все множители делителя.

Разбор задач

Вычислить: 72:(3 · 4). Произведение в скобках состоит из двух множителей, поэтому можно заменить деление на последовательные действия. Здесь удобно первым взять 3: число 72 делится на него без остатка. Затем результат нужно разделить на оставшийся множитель 4.

1. Записываем правило: 72:(3 · 4) = (72:3):4.
2. Выполняем первое деление: 72:3 = 24.
3. Делим полученное частное на второй множитель: 24:4 = 6.

Ответ: 6. Проверим его обратным умножением: 6 · (3 · 4) = 6 · 12 = 72. Получили исходное делимое, значит вычисление выполнено верно.

Вычислить удобным способом: 840:(7 · 12). Если сначала делить на 7, получится 120, а затем его придётся делить на 12. Можно поменять порядок множителей: 840 делится на 12 нацело, и после первого действия получается удобное число. Правило разрешает такой выбор, если в конце учтены оба делителя.

1. Меняем порядок последовательных делений: 840:(7 · 12) = (840:12):7.
2. Сначала делим 840 на 12: 840:12 = 70.
3. Делим результат на 7: 70:7 = 10.

Ответ: 10. Проверка: 10 · (7 · 12) = 10 · 84 = 840. Значит, выбранный порядок не изменил значение выражения и упростил счёт.

Решить уравнение x:(5 · 6) = 8. Здесь неизвестно делимое, а делитель равен произведению 5 · 6. Чтобы восстановить делимое, используем связь деления и умножения: делимое равно частному, умноженному на делитель. Поэтому сначала умножим 8 на всё произведение множителей.

1. Записываем обратное действие: x = 8 · (5 · 6).
2. Считаем произведение в скобках: 5 · 6 = 30.
3. Находим неизвестное: x = 8 · 30 = 240.

Ответ: x = 240. Проверка: 240:(5 · 6) = 240:30 = 8. Получили правую часть уравнения, значит найденное число подходит.

Типичные ошибки

Ошибка: вместо a:(b · c) считают a:b · c. Так происходит, когда не замечают, что скобки включают оба множителя в состав делителя. Проверь себя, поставив скобки и проговорив выражение: делится ли число на всё произведение или после деления следует умножение? При разных записях порядок действий и ответ могут различаться.

Ошибка: делят только на один множитель и останавливаются. Иногда это случается потому, что первый шаг уже дал целое или круглое число. Сверь выражение с множителями делителя: если их два, в вычислении должны присутствовать два деления. Затем проверь результат умножением на оба множителя.

Ошибка: меняют порядок действий, но пропускают деление на один из множителей или умножают на него. Удобный порядок позволяет переставить последовательные деления, но не отменить ни одного из них. Запиши промежуточное выражение как цепочку, например (a:c):b, и посчитай, сколько делений осталось. Обратное умножение на делитель помогает обнаружить неверный ответ.

Ошибка: применяют правило, когда один из множителей равен нулю. Могут решить, что достаточно отдельно разделить число на остальные множители, не проверив делитель целиком. Но произведение с нулевым множителем равно нулю, а делить на ноль нельзя. Перед вычислением проверь каждый множитель; если среди них есть 0, выражение не имеет смысла.

Связь с другими темами

Чтобы применять правило, нужно понимать смысл деления и его связь с умножением: частное можно проверить произведением делителя на результат. Также важно соблюдать порядок действий и знать, что множители можно переставлять, не меняя произведения. Эти знания помогают выбирать удобный способ вычисления, а не действовать наугад.

Правило пригодится в устных и письменных вычислениях, когда делитель представлен произведением, и при решении уравнений с неизвестным делимым. Оно подготавливает к преобразованию дробных выражений и делению чисел на несколько множителей. Во всех случаях сохраняй скобки и учитывай, что делить на ноль нельзя.

Что запомнить

• Чтобы разделить число на произведение, можно разделить его на один множитель, а затем на другой.
• a:(b · c) = (a:b):c.
• Первым выбирают тот множитель, на который удобнее делить.
• На произведение из нескольких множителей делят последовательно на каждый множитель.
• Скобки показывают, что сначала образуется произведение делителей.
• Ни один делитель не может быть равен нулю.