Урок 6.Деление числа на произведение

Определения и обозначения

В записи a:(b·c) число a называют делимым, а произведение b·c — делителем. Делитель должен быть отличен от нуля, иначе деление невозможно. Эти названия помогают определить, какое число делят и на что выполняют деление.

Произведение b·c — это результат умножения двух множителей: b и c. Скобки показывают, что сначала нужно найти произведение, если выражение считают одним действием. Понимание этого обозначения не позволяет принять b·c за сумму b + c.

Выражение a:(b·c) означает: число a нужно разделить на произведение двух множителей b и c. Сначала можно вычислить сам делитель, а затем выполнить деление. Такой способ удобен, когда произведение находится быстро.

Правило деления на произведение говорит: число можно последовательно разделить на каждый множитель, то есть a:(b·c) = (a:b):c. Это верно, если оба множителя ненулевые и соответствующие деления определены. Правило позволяет заменить громоздкое вычисление более удобными шагами.

Как это устроено

Деление на произведение b·c равносильно сначала делению на b, а затем на c: a:(b·c) = (a:b):c. Например, 48:(2·3) можно посчитать как 48:2:3. В обоих случаях число в итоге уменьшается в 6 раз, поэтому результаты совпадают.

Равенство объясняется смыслом частного. Если q = a:(b·c), то при умножении частного q на делитель b·c должно получиться делимое a: q·(b·c) = a. При последовательном делении получается тот же q, потому что ((a:b):c)·(b·c) = a, когда действия определены.

Множители в произведении можно поменять местами: b·c = c·b. Поэтому допустима и запись a:(b·c) = (a:c):b. Это не означает, что порядок действий не имеет значения вообще: промежуточные числа могут быть разными, но конечное частное будет одинаковым.

Порядок выбирают по удобству вычислений. Если a легко делится на b, начинают с b; если проще разделить на c, начинают с c. Например, в 420:(7·6) удобнее сначала выполнить 420:6, потому что получается круглое число, а затем разделить результат на 7.

У правила есть условия применения. Множители b и c не могут быть нулевыми, поскольку тогда исходный делитель равен нулю. При вычислениях с натуральными числами проверяют также, получается ли целое частное на каждом выбранном шаге; если нет, можно получить дробь, хотя само деление всё равно может быть определено в расширенной системе чисел.

Деление числа на произведение разными способами

Таблица показывает, как одно и то же выражение можно вычислять разными путями. Выбирай строку, которая соответствует условию задачи и удобным промежуточным действиям.

После вычисления полезно использовать последнюю строку для проверки: умножение должно вернуть исходное делимое. Если результат проверки не равен a, найди ошибку в одном из делений.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 48:(2·3).

Нужно сравнить два допустимых способа: сначала найти произведение в скобках или выполнить два последовательных деления. В обоих случаях делитель равен 6, поэтому ответы должны совпасть.

1. Найдём произведение: 2·3 = 6.
2. Разделим 48 на полученный делитель: 48:6 = 8.
3. Проверим правило последовательным делением: 48:2 = 24, 24:3 = 8.

Ответ: 8. Оба способа дают один и тот же результат.

Задача 2. Вычислите 420:(7·6), выбрав удобный порядок деления.

Множители 7 и 6 можно использовать в любом порядке. Выберем сначала 6: число 420 делится на 6 без остатка, и промежуточное вычисление получается простым.

1. Запишем выражение как последовательное деление: 420:(7·6) = 420:6:7.
2. Выполним первое деление: 420:6 = 70.
3. Разделим промежуточный результат на 7: 70:7 = 10.
4. Проверим: 10·(7·6) = 10·42 = 420.

Ответ: 10. Если начать с 7, получится 420:7:6 = 60:6 = 10, но выбранный порядок также приводит к удобным целым числам.

Задача 3. Для каких значений выражение 90:(5·k) является целым числом, если k — натуральное число? Найдите значение при k=3.

Сначала применим правило деления на произведение: 90:(5·k) = (90:5):k = 18:k. Теперь нужно, чтобы 18 делилось на натуральное k без остатка. Нулевое значение не рассматривается, так как k — натуральное число и делитель 5·k не должен быть нулём.

1. Найдём натуральные делители числа 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
2. Значит, выражение является целым при этих значениях k.
3. Подставим k = 3: 90:(5·3) = 90:15 = 6.
4. Проверим последовательным делением: 90:5 = 18, 18:3 = 6.

Ответ: k = 1, 2, 3, 6, 9, 18; при k = 3 значение выражения равно 6.

Типичные ошибки

Забывают один множитель. Иногда после действия a:b ученик останавливается и записывает промежуточный результат. Нужно выполнить и второе деление: (a:b):c. Проверка умножением на b·c сразу покажет ошибку.

Складывают множители вместо умножения. В выражении a:(b·c) скобки содержат произведение, а не сумму b + c. Перед делением внимательно прочитай знак между множителями и отдельно вычисли именно произведение.

Считают, что смена порядка меняет ответ. Из-за разных промежуточных чисел может показаться, что способы несовместимы. Используй равенство b·c = c·b и сравни конечные результаты, а не только первый шаг.

Делят при нулевом множителе или не проверяют промежуточное деление. Если b = 0 или c = 0, исходный делитель равен нулю, и действие не определено. В натуральных вычислениях также проверь, делится ли число на выбранный первый множитель без остатка.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны смысл умножения и деления, названия компонентов действий, свойства произведения и порядок действий в выражениях со скобками. Эти знания помогают правильно прочитать запись a:(b·c) и выбрать способ вычисления.

Правило пригодится при устных вычислениях и упрощении числовых выражений. Позже тот же приём поможет работать с рациональными числами и лучше понимать свойства действий.

Что запомнить

• Деление на произведение можно заменить последовательным делением на его множители.
• a:(b·c) = (a:b):c, если деления определены.
• Множители можно менять местами и выбирать удобный порядок деления.
• Делитель и каждый множитель-делитель не должны быть равны нулю.
• В натуральных числах проверяй, получается ли целое частное на промежуточных шагах.
• Результат можно проверить умножением частного на исходный делитель.