Урок 5.Приемы деления на 10 и на 100

Определения и обозначения

Деление на 10 — действие, при котором число уменьшается в десять раз. Например, 70 : 10 = 7, потому что в семи десятках содержится семь единиц. Это правило помогает быстро вычислять без письменного деления и проверять, разумен ли ответ.

Деление на 100 означает уменьшение числа в сто раз. Например, 500 : 100 = 5: пять сотен составляют пять единиц. Такое понимание помогает не путать деление на 100 с делением на 10, которое уменьшает число слабее.

Перенос запятой — удобный способ разделить десятичную дробь на 10 или 100, не выполняя деление столбиком. При делении на 10 запятая в записи результата сдвигается на один знак влево, при делении на 100 — на два. Приём позволяет быстро получить точный ответ.

Разрядная единица — единица, связанная с положением цифры: например, 1, 10, 100, 0,1 или 0,01. При делении на 10 каждая цифра переходит в разряд на одну позицию правее, а при делении на 100 — на две. Это объясняет перемещение запятой и изменение значения цифр.

Как это устроено

Деление на 10 и 100 связано с умножением на 0,1 и 0,01: например, 8 : 10 = 8 · 0,1 = 0,8. Это равенство верно, потому что 0,1 составляет одну десятую, а 0,01 — одну сотую. Поэтому умножение на эти числа, как и деление на 10 или 100, уменьшает исходное число в соответствующее количество раз.

В целых числах при делении на 10 каждая цифра меняет разряд на один шаг: в числе 640 цифра 6 обозначает сотни, 4 — десятки. После деления на 10 получаем 64: цифра 6 теперь обозначает десятки, а 4 — единицы. При делении на 100 цифры переходят на два разряда, поэтому 640 : 100 = 6,4; запятая показывает, что осталась часть единицы.

Для десятичной дроби правило можно объяснить тем же изменением разрядов. При делении на 10 цифры сдвигаются к разрядам, значения которых в десять раз меньше, поэтому запятая перемещается на один знак влево. При делении на 100 каждый разряд уменьшается в сто раз, значит, нужно переместить запятую на два знака влево.

Иногда имеющихся цифр до запятой недостаточно, чтобы выполнить такой сдвиг. Тогда слева дописывают нули: например, 7,2 можно представить как 07,2, а затем перенести запятую на нужное число знаков. Ноль перед числом не меняет его значения, зато помогает точно обозначить разряды результата.

Нули в записи результата выполняют разные задачи. Ноль перед первой значащей цифрой нужен: в числе 0,0056 он показывает, что до сотых и тысячных разрядов значение меньше единицы. А нули в конце дробной части можно убрать, потому что 0,560 и 0,56 обозначают одно и то же число.

Приёмы деления на 10 и на 100

Сначала определите, делите ли вы на 10 или на 100, и вспомните, во сколько раз должно уменьшиться число. Затем переместите запятую на нужное количество знаков и при необходимости добавьте нули слева. В конце проверьте, что ответ меньше исходного числа.

Разбор задач

Вычислите 640 : 10 и 640 : 100.

Сравним два деления одного и того же числа. При делении на 10 каждая цифра смещается на один разряд, а при делении на 100 — на два. Поэтому во втором случае результат должен быть в десять раз меньше, чем в первом.

1. Вычисляем 640 : 10: цифры сдвигаются на один разряд, получаем 64.
2. Вычисляем 640 : 100: цифры сдвигаются на два разряда, получаем 6,4.
3. Проверяем: 6,4 меньше 64, значит, деление на 100 уменьшило исходное число сильнее.

Ответ: 640 : 10 = 64; 640 : 100 = 6,4.

Вычислите 7,2 : 10 и 7,2 : 100.

В числе 7,2 запятая уже записана, поэтому удобно не менять цифры, а передвинуть знак. Для деления на 10 нужен сдвиг на один шаг влево, для деления на 100 — на два. Если после сдвига перед первой цифрой результата не остаётся цифры, понадобится ноль перед запятой.

1. При делении 7,2 на 10 перемещаем запятую на один знак влево: получаем 0,72.
2. При делении 7,2 на 100 перемещаем запятую на два знака влево: получаем 0,072.
3. Сравниваем результаты: 0,072 меньше 0,72, как и должно быть при делении на большее число.

Ответ: 7,2 : 10 = 0,72; 7,2 : 100 = 0,072.

Вычислите 0,56 : 10 и 0,56 : 100, затем сравните ответы.

Здесь до запятой нет значащих цифр, а при делении нужно сдвинуть её ещё левее. Недостающие разряды обозначаем нулями, иначе число получится в десять или сто раз больше нужного. После вычисления проверяем, какой ответ меньше.

1. Для 0,56 : 10 перемещаем запятую на один знак влево: получаем 0,056.
2. Для 0,56 : 100 перемещаем её на два знака влево: получаем 0,0056.
3. Сравниваем: 0,0056 меньше 0,056, поскольку делитель 100 больше делителя 10.

Ответ: 0,56 : 10 = 0,056; 0,56 : 100 = 0,0056. Второй результат меньше первого.

Типичные ошибки

При делении иногда передвигают запятую вправо, как при умножении на 10 или 100. Путают направления, потому что используют знакомый приём, не проверяя, увеличилось или уменьшилось число. Самопроверка проста: результат деления на 10 или 100 должен быть меньше исходного числа.

Другая ошибка — при делении на 100 переместить запятую только на один знак. Так происходит, если ученик не учитывает, что 100 — это две сотни единиц, то есть два разряда. Проверьте себя, проговорив правило до вычисления: на 10 — один знак, на 100 — два.

Если при переносе не записать нули перед первой значащей цифрой, получится число с неверным значением. Например, 0,56 : 100 — это 0,0056, а не 0,56 и не 0,056. Чтобы проверить ответ, оцените, во сколько раз он меньше исходного числа.

Не всегда можно просто приписать или убрать нули в конце записи числа: такой приём без учёта запятой может изменить значение. Например, деление 7,2 на 10 даёт 0,72, а не 7,20. Проверяйте разряды и направление сдвига, а нули убирайте только в конце дробной части, где они не меняют значение.

Связь с другими темами

Для этих вычислений нужно уметь читать десятичные дроби, понимать, какую часть числа обозначает цифра в каждом разряде, и делить натуральные числа. Если с этими действиями пока трудно, полезно сначала повторить разрядный состав числа и запись дробей.

Перемещение запятой пригодится при делении десятичных дробей, устных вычислениях и переводе единиц измерения. Например, при переходе между некоторыми единицами используют умножение или деление на 10 и 100. Понимание разрядов помогает выполнять такие переводы без механического заучивания.

Что запомнить

• При делении на 10 число уменьшается в 10 раз.
• При делении на 100 число уменьшается в 100 раз.
• При делении десятичной дроби на 10 запятая перемещается на один знак влево.
• При делении десятичной дроби на 100 запятая перемещается на два знака влево.
• Если цифр недостаточно, слева дописывают нули.
• Нули в конце десятичной дроби можно отбросить, не изменяя её значения.