"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В., Разумовский В.А. и др.
Величины описывают длину, массу, время, площадь и стоимость с помощью чисел и единиц измерения. Чтобы складывать или вычитать их, сначала проверяют, относятся ли они к одному виду, а затем приводят к одинаковым единицам. При вычислениях иногда выполняют переход через крупную единицу или занимают её часть. Главное — правильно записать единицы, выполнить действие и проверить, разумен ли результат.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Величина — характеристика предмета или явления, которую можно измерить и выразить числом с единицей измерения. Длина, масса, время и стоимость являются величинами. Это понятие нужно, чтобы описывать свойства предметов не только словами, но и точными числами.
Единица измерения — установленная мера величины: метр, килограмм, литр, рубль и другие. С её помощью сравнивают результаты измерений и выполняют вычисления. Например, запись 5 кг означает пять единиц массы, каждая из которых называется килограммом.
Однородные величины — величины одного вида, выраженные в одинаковых или связанных единицах измерения. Метры и сантиметры однородны, потому что относятся к длине, а метры и килограммы — нет. Это определение помогает понять, какие величины можно объединять действием сложения или вычитания.
Именованное число — число, записанное вместе с наименованием единицы величины: 7 м, 250 г, 2 ч 15 мин. Наименование показывает, что именно измерено и как понимать число. Без него запись может быть неполной или привести к неверному действию.
Складывать и вычитать можно только однородные величины, потому что результат должен иметь понятный физический смысл. Если к длине прибавить массу, получится выражение, которое нельзя описать одной измеряемой характеристикой. Поэтому сначала определяют вид величин: длина складывается с длиной, время — со временем, стоимость — со стоимостью.
Разные единицы одного вида имеют разные размеры, поэтому перед вычислением их приводят к одной единице. Например, 2 м и 35 см нельзя обрабатывать как числа 2 и 35: один метр содержит 100 сантиметров. Можно перевести 2 м в 200 см или работать отдельно с метрами и сантиметрами, учитывая переход между ними.
При сложении сначала складывают одинаковые разряды. Например, в записи 3 м 40 см + 2 м 75 см сначала получают 5 м и 115 см, а затем 100 см заменяют 1 м. Поэтому итог равен 6 м 15 см: переход возникает не потому, что изменился вид величины, а потому, что набралась целая крупная единица.
При вычитании иногда мелких единиц в уменьшаемом меньше, чем в вычитаемом. Тогда одну крупную единицу заменяют соответствующим количеством мелких: 1 м превращают в 100 см, 1 кг — в 1000 г, 1 ч — в 60 мин. После заимствования крупный разряд уменьшается на единицу, а мелкий получает добавленное количество.
Результат должен относиться к тому же виду величины, что и исходные данные. При сложении длины ответом будет длина, при вычитании времени — время, а не просто число без смысла. Единицу выбирают так, чтобы запись была понятной, затем проверяют вычисление обратным действием и оценивают, подходит ли ответ условию.
В таблице указаны основные виды величин, их единицы и соотношения между ними. Перед действием выберите одну единицу или приготовьтесь выполнять переходы между связанными единицами. Пример записи результата показывает, как сохранить наименование величины.
| Вид величины | Единицы измерения | Связи между единицами | Что сделать перед действием | Пример записи результата |
|---|---|---|---|---|
| Длина | мм, см, м, км | 1 м = 100 см; 1 см = 10 мм | Выбрать одну единицу или разделить на метры и сантиметры | 6 м 15 см |
| Масса | г, кг, т | 1 кг = 1000 г; 1 т = 1000 кг | Перевести в одинаковые единицы или подготовить заимствование | 4 кг 300 г |
| Время | с, мин, ч, сут | 1 мин = 60 с; 1 ч = 60 мин; 1 сут = 24 ч | Учитывать не десятичные, а установленные соотношения | 3 ч 20 мин |
| Площадь | см², м², км² | 1 м² = 10 000 см² | Перевести площади в одну единицу | 12 м² |
| Денежная стоимость | коп., руб. | 1 руб. = 100 коп. | Сложить рубли и копейки, выполнив переход через 100 копеек | 8 руб. 25 коп. |
Во всех задачах сначала определяем вид величины и соотношение между единицами. Затем раскладываем вычисление по разрядам или переводим всё в одну единицу. В конце обязательно записываем ответ с наименованием и проверяем его.
Складываются две длины, значит, действие допустимо. Удобно отдельно сложить метры и сантиметры. Так мы сразу увидим, нужен ли переход через 100 сантиметров.
Ответ: 5 м 65 см. Проверка показывает, что результат больше каждой длины, но меньше 6 м, поэтому он выглядит разумно.
Это вычитание масс, а 250 г меньше 800 г. Значит, одних граммов для вычитания не хватает, и нужно занять 1 кг. Один килограмм заменяем 1000 г, сохраняя ту же массу.
Ответ: 3 кг 450 г. Проверка: 3 кг 450 г + 3 кг 800 г = 7 кг 250 г, значит, заимствование выполнено правильно.
Нужно найти разность общего времени и времени в пути. Минут в уменьшаемом меньше, чем в вычитаемом, поэтому занимаем один час. При этом 1 час заменяется 60 минутами.
Ответ: осталось 2 ч 27 мин. Обратное сложение даёт 2 ч 27 мин + 2 ч 48 мин = 5 ч 15 мин, поэтому ответ подтверждён.
Иногда складывают или вычитают неоднородные величины, например метры и килограммы. Так происходит, если ученик смотрит только на числа и не проверяет названия единиц. Нужно сначала назвать вид каждой величины: если виды разные, действие в таком виде выполнять нельзя.
Другая ошибка — действовать с числами без приведения единиц, например складывать 2 м и 30 см как 2 + 30. Причина в том, что забывается разный размер единиц. Проверьте себя вопросом: одинаковое ли количество единиц скрывается за числами, или требуется перевод.
Можно забыть о переходе через единицу: оставить 125 см вместо 1 м 25 см или вычесть 48 минут из 15 минут без заимствования. Такое вычисление нарушает соотношение между единицами. После действия проверьте, не набралось ли 100 см, 1000 г или 60 мин и хватает ли мелких единиц для вычитания.
Наконец, в ответе иногда указывают неправильную единицу или не сверяют результат с условием. Число без наименования не показывает, что именно найдено. Прочитайте ответ целиком, выполните обратное действие и оцените, должен ли результат быть больше или меньше исходной величины.
До этой темы нужно знать единицы длины, массы, времени, площади и стоимости, а также соотношения между ними. Эти знания позволяют правильно переводить величины и выполнять переходы. Без них вычисление с именованными числами превращается в механическую запись.
Сложение и вычитание величин нужны в текстовых задачах на движение, покупки, работу и расход материалов. Например, с их помощью находят оставшееся время, общую длину маршрута или сдачу. Поэтому умение работать с единицами связывает вычисления с практическими ситуациями.
Тема опирается на действия с многозначными числами и преобразование единиц измерения. Позже пригодится и округление величин, когда точный ответ нужно заменить приближённым. Во всех случаях сохраняется главный принцип: учитывать и число, и единицу.
Можно ли складывать величины, записанные в разных единицах?
Да, если это однородные величины: например, метры и сантиметры. Перед действием их приводят к одинаковым единицам или записывают с переходом между единицами.
Почему нельзя складывать метры с сантиметрами как обычные числа?
Метр и сантиметр имеют разный размер, поэтому числа показывают разное количество единиц. Сначала нужно перевести одну величину в единицы другой или сложить соответствующие части с учётом соотношения 1 м = 100 см.
Как выполнять вычитание, если минут или сантиметров в уменьшаемом меньше?
Занимают одну крупную единицу и заменяют её нужным числом мелких: 1 ч = 60 мин, 1 м = 100 см. После этого вычитают отдельно крупные и мелкие единицы.
Нужно ли переводить все величины в наименьшие единицы?
Не обязательно. Можно переводить всё в сантиметры, граммы или минуты, а можно складывать и вычитать разряды отдельно, выполняя переходы между единицами.
Как проверить правильность сложения или вычитания величин?
Сложение проверяют вычитанием, а вычитание — обратным сложением. Также полезно оценить ответ: после сложения он должен быть больше каждого слагаемого, а после вычитания — меньше уменьшаемого.
Урок 8.Сложение и вычитание величин
