РАВНЫЕ И РАВНОСОСТАВЛЕННЫЕ ФИГУРЫ

Определения и обозначения

Равные фигуры — фигуры, которые можно совместить наложением так, чтобы они полностью совпали. Для многоугольников это означает равенство соответствующих сторон и углов. Простыми словами, у таких фигур одинаковы форма и размеры, хотя расположены они могут по-разному. Это определение помогает отличать совпадение самих фигур от простого сходства или одинаковой площади.

Равносоставленные фигуры — фигуры, каждую из которых можно разбить на одинаковое число попарно равных частей. Попарно равные части можно совместить друг с другом; совпадать при этом должны не только их площади, но и форма с размерами. Такое понятие позволяет сравнивать фигуры, которые целиком не похожи друг на друга. Оно особенно полезно, когда нужно объяснить, почему площади фигур равны.

Равновеликие фигуры — фигуры, площади которых равны. Они могут различаться и формой, и размерами отдельных сторон, если общая площадь совпадает. Поэтому равновеликость описывает только площадь, а не возможность полного совмещения. Различать эти понятия нужно, чтобы по равенству площади не делать лишних выводов о самих фигурах.

Как это устроено

Чтобы проверить равенство, одну фигуру мысленно или на чертеже перемещают, а при необходимости поворачивают. При таком движении её форма и размеры не меняются: не растягивают и не сжимают фигуру. Если после перемещения все точки одной фигуры совпадают с точками другой, наложение удалось и фигуры равны. Если остаётся несовпадающая часть, полного равенства нет.

Разбиение начинают с того, что проводят внутри фигуры линии и получают несколько частей. Затем каждой части первой фигуры подбирают часть второй, с которой её можно совместить наложением. Число частей в обеих фигурах должно быть одинаковым, и для каждой части должна найтись равная ей пара. Именно сопоставление по парам, а не одно лишь количество частей, показывает, что фигуры равносоставлены.

Равные фигуры равносоставлены, потому что каждую из них можно оставить целой и считать одной частью. Эти две части равны по определению: они полностью совмещаются наложением. Значит, найдено разбиение на одинаковое число попарно равных частей — по одной части в каждой фигуре. Это частный случай разбиения, даже если обычно при слове «разбить» представляют несколько частей.

Площадь всей фигуры равна сумме площадей частей, на которые её разбили. У равносоставленных фигур части можно сопоставить попарно, а равные части имеют одинаковые площади. Складывая площади каждой пары, получаем одинаковые суммы для обеих фигур. Поэтому равносоставленные фигуры всегда равновелики, хотя сама форма может быть разной.

Равносоставленные фигуры могут иметь разную форму, потому что их части разрешается расположить по-разному. Например, одинаковые части можно собрать в вытянутую фигуру или в более компактную. Их площади останутся одинаковыми, поскольку состав частей не изменился. Но целиком совместить такие фигуры может быть невозможно: для равносоставленности достаточно совпадения соответствующих частей после разбиения.

Сравнение фигур по равенству, составу и площади

Пользуйся таблицей, сначала решив, какой именно признак требуется проверить: форму и размеры, разбиение или площадь. Равенство фигур влечёт равенство площадей, а равносоставленность тоже гарантирует одинаковую площадь. Обратные выводы из равенства площадей делать нельзя.

Разбор задач

Задача 1. Даны два треугольника одинаковой формы и размеров, один из них повёрнут. Определите, равны ли они, и укажите, как это проверить.

1. Сравниваем не положение треугольников на листе, а их форму и размеры.
2. Мысленно поворачиваем один треугольник и перемещаем его, не растягивая и не сжимая.
3. Проверяем, совпадут ли после этого все вершины и стороны двух треугольников.

По условию форма и размеры одинаковы, значит, поворот лишь изменил расположение. После подходящего перемещения треугольники полностью совместятся. Ответ: треугольники равны; это проверяют полным наложением после поворота и перемещения.

Задача 2. Два многоугольника разбиты каждый на четыре части; соответствующие части попарно равны. Объясните, что можно заключить о фигурах.

1. Проверяем определение: у каждого многоугольника четыре части, а части одной фигуры попарно равны частям другой.
2. Значит, части можно сопоставить и совместить по парам; многоугольники равносоставлены.
3. Площадь каждого многоугольника представляем как сумму площадей четырёх частей.
4. Площади соответствующих равных частей совпадают, поэтому совпадают и суммы.

Из разбиения следует равносоставленность и равенство площадей. Однако о полном совпадении многоугольников заключить нельзя: части могут быть собраны в разной форме. Ответ: фигуры равносоставлены и равновелики, но не обязательно равны.

Задача 3. Даны два многоугольника одинаковой площади, но разной формы. Можно ли только по равенству площадей утверждать, что фигуры равны или равносоставлены? Обоснуйте ответ.

1. Равенство площадей показывает лишь равновеликость многоугольников.
2. Для равенства фигур нужно доказать совпадение при наложении; разная форма этому противоречит.
3. Для равносоставленности нужно указать разбиение на одинаковое число попарно равных частей, а в условии такого разбиения нет.

Следовательно, одинаковые площади не дают основания ни для одного из этих двух выводов. О разбиении можно судить только после отдельной проверки частей. Ответ: фигуры равновелики, но утверждать, что они равны или равносоставлены, нельзя.

Типичные ошибки

Считать равными любые фигуры с одинаковой площадью. Такая ошибка возникает, когда площадь принимают за полное описание фигуры. Но одинаковую площадь могут иметь фигуры разной формы, которые не совмещаются наложением. Проверь себя: можешь ли ты показать полное совмещение, а не только равенство площадей?

Полагать, что равносоставленные фигуры обязаны целиком совмещаться. Так думают, потому что слово «равные» в названии частей переносят на фигуры целиком. Однако достаточно разрезать фигуры и совместить попарно равные части. Проверь себя: сравни части после разбиения, а не только внешний контур целых фигур.

Считать части равными только по их числу. Четыре части в каждой фигуре ещё не означают, что фигуры равносоставлены. Нужно проверить, что каждой части соответствует равная ей по форме и размерам часть другой фигуры. Проверь себя: составь пары и убедись, что каждую пару можно совместить наложением.

Учитывать только длины сторон и не проверять форму. Совпадающие длины отдельных сторон сами по себе не гарантируют равенства многоугольников: углы и расположение сторон тоже важны. Ошибку допускают, сравнивая отдельные числа, а не целые фигуры. Проверь себя: сопоставь соответствующие стороны и углы или проверь полное наложение.

Связь с другими темами

Для проверки равенства фигур пригодится умение сравнивать их наложением и распознавать, когда фигуры совпадают. Чтобы обосновать равенство площадей равносоставленных фигур, нужно знать понятие площади и правило сложения площадей частей. Позже разбиение многоугольников поможет объяснять, откуда берутся формулы для вычисления их площадей. Например, фигуру можно разделить на простые части, площади которых уже умеешь находить.

Что запомнить

• Равные фигуры полностью совмещаются наложением.
• Равные фигуры имеют одинаковые форму и размеры.
• Равносоставленные фигуры разбиваются на одинаковое число попарно равных частей.
• Равносоставленные фигуры имеют равные площади.
• Равносоставленные фигуры могут отличаться по форме.
• Равенство площадей само по себе не доказывает равенство фигур.