Урок 1.Контуры

Определения и обозначения

Контур — линия, которая ограничивает плоскую фигуру. По одну сторону такой границы находится внутренняя область, а по другую — внешняя; поэтому контур помогает понять, где фигура заканчивается. Например, обведённую на листе фигуру можно отличить от пространства вокруг неё именно по границе.

Замкнутый контур — линия, у которой начало и конец совпадают. Она возвращается в исходную точку, поэтому на её границе нет разрыва, через который можно было бы свободно перейти из внутренней области во внешнюю. Такое свойство необходимо, чтобы линия полностью окружала фигуру.

Ломаный контур — замкнутая линия из нескольких последовательно соединённых отрезков. Отрезки называют звеньями, а точки их соединения — вершинами. Эти названия нужны, чтобы точно описывать форму и порядок частей контура: например, у ломаной ABCDE звенья обозначают AB, BC и так далее.

Внутренняя и внешняя области контура — части плоскости по разные стороны от линии. Внутри находится ограниченная контуром часть, снаружи — пространство за её границей. Сам контур не относится ни к одной из областей: он разделяет их и служит общей границей.

Как это устроено

Линия отделяет внутреннюю область от внешней, потому что при переходе с одной стороны границы на другую приходится пересечь саму границу. Если линия имеет разрыв, можно пройти из одной области в другую через это место, не пересекая линию. Поэтому для ограничения фигуры контур должен быть замкнутым: он окружает область непрерывно.

Замкнутость удобно проверять движением по линии. Выбери любую точку и мысленно пройди по всей линии, не перескакивая с одного участка на другой. Если путь приводит обратно к выбранной точке, начало и конец совпадают. Если остановиться в другой точке или обнаружить разрыв, линия открытая и полной границы не образует.

Чтобы составить ломаный контур, расположи отрезки так, чтобы конец каждого звена совпадал с началом следующего. Тогда они образуют одну непрерывную линию, а точки соединения становятся вершинами. Но одной непрерывности недостаточно: последнее звено должно соединить конец цепочки с её началом. Иначе останется разрыв, и ломаная не будет замкнутой.

При распознавании контура среди изображённых линий сначала проверь, замкнута ли каждая из них. Открытая линия не окружает область, потому что её концы не соединены. Затем обрати внимание на самопересечения: если линия пересекает сама себя, получившиеся части плоскости могут быть разделены неоднозначно. Поэтому для простого контура важно, чтобы он был замкнутым и не пересекал сам себя.

Описывая контур по рисунку, сначала проследи линию от выбранной точки и проверь, что она возвращается в начало без разрывов. Для ломаной запиши звенья по порядку, включая последнее, замыкающее путь, а затем назови вершины. После этого укажи область, лежащую внутри границы. Такой порядок помогает не пропустить звено и не принять внешнюю область или саму линию за внутреннюю.

Как различать линии и контуры

Сначала выясняй, совпадают ли начало и конец линии, а потом — нет ли самопересечений. Таблица показывает, что замкнутость сама по себе ещё не всегда делает линию удобной границей одной области. У ломаной дополнительно проверь соединение последнего звена с первым.

Разбор задач

Задача 1

Определите, какие из нескольких изображённых линий являются замкнутыми контурами. Сами изображения здесь не заданы, поэтому разберём способ проверки, который можно применить к каждой линии по отдельности. Важно не оценивать форму на глаз: круглая или угловатая линия может быть как замкнутой, так и открытой.

1. Выберите на первой линии точку и проследите весь путь до его конца.
2. Сравните конечную точку с начальной: если они совпали, линия замкнута; если нет — открыта.
3. Если линия замкнута, проверьте, пересекает ли она сама себя; для однозначного контура пересечений быть не должно.

Такую проверку повторите для каждой изображённой линии. Замкнутыми контурами будут линии, которые возвращаются в исходную точку и не имеют самопересечений, осложняющих выделение внутренней области. Ответ: контуры — те линии, у которых начало и конец совпадают, а самопересечений нет.

Задача 2

На рисунке изображена замкнутая ломаная ABCDE. Назовите её звенья и вершины и укажите внутреннюю область. Буквы задают порядок точек вдоль ломаной, поэтому двигаться нужно от A к B, затем к C и дальше. Поскольку ломаная замкнута, после E путь должен вернуться в A.

1. Запишите отрезки между соседними буквами: AB, BC, CD и DE.
2. Проверьте замыкание и добавьте последнее звено EA, соединяющее конечную вершину с начальной.
3. Назовите вершины по порядку: A, B, C, D, E; внутренней считайте ограниченную этой линией часть плоскости.

Перечень звеньев должен включать отрезок EA: без него получилось бы только открытая цепочка от A до E. Вершины — точки, в которых соединяются соседние звенья. Ответ: звенья AB, BC, CD, DE, EA; вершины A, B, C, D, E; внутренняя область находится внутри замкнутой ломаной.

Задача 3

Среди нескольких ломаных найдите ту, которая ограничивает одну область, и объясните, почему остальные не подходят. Чтобы не делать вывод только по внешнему виду, проверяйте ломаные в одном порядке. Сначала нужно убедиться, что отрезки соединены в непрерывный путь, а затем — что путь замыкается.

1. Для каждой ломаной проверьте, соединён ли конец каждого звена с началом следующего.
2. Проследите цепочку до конца и выясните, соединено ли последнее звено с началом первого.
3. Проверьте, не пересекает ли ломаная сама себя; среди подходящих выберите замкнутую ломаную без самопересечений.

Открытые ломаные не подходят, потому что разрыв не позволяет полностью отделить внутреннюю область от внешней. Самопересекающиеся также могут делить плоскость на несколько частей, поэтому по условию об одной области они не подходят. Ответ: нужная ломаная замкнута и не имеет самопересечений; остальные отвергаются из-за разрыва или пересечения.

Типичные ошибки

Называть контуром любую линию. Так ошибаются, когда смотрят только на форму и не проверяют концы. Открытая линия не ограничивает область из-за разрыва. Проверь себя: пройди путь от конца до конца — если не вернулся в исходную точку, это не замкнутый контур.

Считать, что совпадения начала и конца всегда достаточно. Это кажется верным, потому что линия уже образует замкнутый путь. Но самопересечения могут усложнить выделение внутренней и внешней областей. Проверь, не пересекает ли линия саму себя, и выясни, однозначно ли выделяется нужная область.

Забывать последнее звено замкнутой ломаной. При перечислении часто записывают только отрезки между соседними буквами, забывая соединить последнюю вершину с первой. Тогда цепочка остаётся открытой. Проверь список: в нём должно быть звено от конечной вершины к начальной.

Относить линию контура к внутренней области. Путают границу и то, что находится за ней, потому что они соприкасаются. Однако контур — отдельная линия, а внутренняя и внешняя области лежат по разные стороны от неё. Проверь себя: назови границу отдельно, затем укажи область внутри неё.

Связь с другими темами

Для работы с контурами нужно различать линию и отрезок, находить концы отрезка и читать обозначения точек. Эти умения позволяют проследить путь по звеньям и не перепутать порядок вершин. Если обозначения точек пока вызывают трудности, сначала потренируйся читать их на отдельных отрезках.

Понятие контура пригодится при изучении многоугольников: многоугольник ограничен замкнутой ломаной. Зная звенья и вершины, легче описать его границу и перейти к периметру — длине этой границы. Поэтому важно не забывать последнее звено замкнутой ломаной.

Представление о границе и внутренней области понадобится при рассмотрении геометрических фигур и их площадей. Сначала нужно понять, какая именно область считается фигурой, а затем можно изучать её свойства и измерение. Контур помогает чётко отличить саму границу от ограниченной ею части плоскости.

Что запомнить

• Контур ограничивает плоскую фигуру.
• У замкнутой линии начало и конец совпадают.
• Открытая линия не ограничивает область.
• Замкнутая ломаная состоит из последовательно соединённых отрезков.
• Последнее звено ломаной соединяет её конец с началом.
• Контур отделяет внутреннюю область от внешней.