Урок 2.Контуры

Определения и обозначения

Контур — это линия, которая очерчивает фигуру и отделяет её от окружающей части плоскости. Иначе говоря, это граница, по которой можно узнать форму фигуры. Понятие контура помогает описывать очертания предмета, не смешивая их с его внутренней частью.

Замкнутый контур — линия без концов, которая возвращается к начальной точке. Она полностью ограничивает область внутри себя. Это свойство позволяет говорить о части плоскости, находящейся внутри границы.

Незамкнутый контур — линия, у которой есть два конца. Её начало и конец не соединены, поэтому линия не окружает отдельную внутреннюю область. Такое определение помогает не приписывать незамкнутой линии границу, которой она не создаёт.

Внутренняя область относительно замкнутого контура — часть плоскости, окружённая этой линией; внешняя область находится за её пределами. Например, у замкнутой линии можно указать, что лежит внутри, а что снаружи. Это различие нужно, чтобы точно описывать положение точек и частей фигуры.

Как это устроено

Контур помогает узнать фигуру по её границе, даже когда внутренняя область закрашена или оставлена белой. Причина в том, что форму задаёт расположение линии: она показывает, как меняется очертание и где проходят края. Цвет и заполнение могут меняться, а граница при этом оставаться той же.

У замкнутого контура есть внутренняя и внешняя области, потому что непрерывная линия окружает часть плоскости со всех сторон. Чтобы выйти из этой части наружу, нужно пересечь границу. У незамкнутой линии остаётся обход вокруг конца: можно перейти с одной стороны линии на другую, не пересекая её, поэтому отдельной ограниченной внутренней области не возникает.

Чтобы проверить замкнутость, выбери точку на линии и мысленно двигайся по ней, не отрываясь. Если путь приводит обратно в начальную точку и обрывов нет, контур замкнут. Если движение заканчивается у свободного конца, линия незамкнута; при проверке не нужно считать близкие, но не соединённые точки одной точкой.

Контуры могут выглядеть совершенно по-разному: быть округлыми, угловатыми, ровными или неровными. Их форма сама по себе не говорит, замкнуты они или нет: решает только наличие соединения начала с концом. Поэтому и угловатая линия может замкнуться, и почти круглая может остаться незамкнутой из-за маленького разрыва.

Контур предмета обозначает только его границу, а сам предмет включает также то, что находится внутри этой границы. Например, нарисованное очертание чашки — контур, а изображение чашки целиком содержит и контур, и внутреннюю часть. Такое различие полезно, когда нужно сравнить форму предметов или нарисовать только их очертания.

Сравнение замкнутого и незамкнутого контуров

Сначала проверь, есть ли у линии свободные концы, затем проследи, возвращается ли она к началу. После этого можно определить, ограничивает ли она внутреннюю область. Таблица помогает сравнить признаки, а не судить о замкнутости только по внешнему виду.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке показаны несколько линий. Найди замкнутые контуры. Чтобы не полагаться на внешний вид, проверим каждую линию по одному признаку. Нам нужно выяснить, соединяются ли её начало и конец.

1. Выбери одну линию и отметь мысленно её начальную точку.
2. Проследи линию до конца, не перескакивая через промежутки.
3. Если путь вернулся к начальной точке без обрыва, линия замкнута; если остановился у свободного конца, она незамкнута.
4. Повтори проверку для каждой линии и собери все линии, которые вернулись к началу.

Ответ: замкнуты те линии, у которых при прослеживании начало соединяется с концом. Без изображения нельзя назвать конкретные линии, поэтому определяй их по этому признаку.

Задача 2. Изображены круглый предмет и незамкнутая линия. Укажи, где можно выделить внутреннюю область. Сначала найдём границу, которая действительно окружает часть плоскости. Затем проверим, остаётся ли у линии проход между её концами.

1. Рассмотри контур круглого предмета и проследи его до возвращения в начальную точку.
2. Убедись, что граница не имеет разрыва: тогда она отделяет область внутри от области снаружи.
3. Проверь незамкнутую линию: её два конца не соединены, поэтому отдельной внутренней области она не ограничивает.

Ответ: внутреннюю область можно выделить внутри замкнутого контура круглого предмета. У незамкнутой линии такой области нет.

Задача 3. Нарисуй два разных замкнутых контура и один незамкнутый. Объясни, чем они отличаются. Примеры можно придумать самому: главное — выполнить условия по соединению линии, а не скопировать какую-то определённую форму.

1. Нарисуй, например, овал и угловатую линию, замкнутую в многоугольник.
2. Проведи третью линию с двумя свободными концами, например дугу.
3. Проследи каждый контур: первые два должны возвращаться к началу, а третий — заканчиваться у свободного конца.
4. Сравни рисунки: разные формы не мешают первым двум быть замкнутыми.

Ответ: овал и угловатый многоугольник — два замкнутых контура, а дуга с двумя концами — незамкнутый. Они отличаются наличием соединения концов, а не формой.

Типичные ошибки

Считать линию замкнутой лишь потому, что её концы расположены близко, — ошибка: между ними может оставаться разрыв. Так кажется, если смотреть на рисунок издалека или не проверять соединение. Присмотрись к концам: замкнута только линия, у которой они действительно соединены.

Называть внутренней областью часть плоскости рядом с незамкнутой линией неверно, потому что такая линия не окружает эту часть со всех сторон. Ошибку допускают, когда принимают одну сторону линии за «внутри». Проверь, можно ли обойти свободный конец и попасть на другую сторону без пересечения линии.

Путать контур предмета с самим предметом — значит принимать границу за всю фигуру. Это происходит, когда слова «контур» и «фигура» используют как равные по смыслу. Для проверки спроси себя: речь идёт только об очертании или также об области внутри него?

Считать, что замкнутый контур обязательно круглый, тоже неправильно: замкнутость зависит от соединения линии, а не от её очертаний. Такое представление возникает из-за привычных круглых примеров. Проверь форму иначе: даже у угловатой линии можно проследить путь обратно к началу.

Связь с другими темами

Для работы с контурами нужно различать линию и фигуру, а также уметь находить начало и конец линии. Эти знания позволяют проверить, есть ли у линии свободные концы и возвращается ли она к началу. Если пока трудно это определить, сначала потренируйся прослеживать отдельные линии.

Понятие замкнутого контура пригодится при изучении геометрических фигур и их границ. Оно помогает понимать, какие линии очерчивают фигуру и где находятся её внутренние части. Поэтому проверка замкнутости станет основой для дальнейшего описания фигур.

Что запомнить

• Контур — это граница фигуры.
• У замкнутого контура нет концов.
• Незамкнутый контур имеет два конца.
• Замкнутый контур отделяет внутреннюю область от внешней.
• Замкнутый контур может иметь разную форму.