Урок 3.Когда фигуры равны

Определения и обозначения

Равные фигуры — это фигуры, которые при наложении полностью совпадают. Иными словами, каждую точку одной фигуры можно совместить с точкой другой, и за краями не останется частей ни одной из них. Это определение позволяет сравнивать фигуры, даже если они нарисованы в разных местах или повернуты.

Наложить одну фигуру на другую — значит переместить её так, чтобы проверить совпадение, не меняя форму и размеры. Фигуру можно сдвигать и поворачивать, но нельзя растягивать, сжимать или изгибать её части. Такое понимание помогает отличить настоящее равенство от простого сходства.

Соответствующие точки — это точки фигур, которые совпадают при наложении. Например, если вершина первой фигуры при совмещении оказывается на вершине второй, эти вершины соответствуют друг другу. Это понятие нужно, чтобы правильно сопоставлять стороны и углы, а не сравнивать элементы наугад.

Отрезки и углы тоже могут быть равными: отрезки равны, если при наложении совпадают их концы и все точки между ними, а углы — если можно совместить их вершины и стороны. Это частные случаи равенства фигур, потому что отрезок и угол сами являются геометрическими фигурами. Так их можно сравнивать тем же способом, что и более сложные фигуры.

Как это устроено

Чтобы проверить равенство фигур, достаточно выяснить, можно ли совместить одну с другой без изменения формы и размеров. Причина в том, что перемещение сохраняет расстояния между точками и взаимное расположение частей фигуры. Если после такого перемещения совпадают все точки, совпала фигура целиком; если какая-то часть выступает или остаётся непокрытой, фигуры не равны.

При наложении сначала выбирают точку одной фигуры и находят место, куда она должна попасть на другой. Затем сопоставляют соседние точки и части: так определяют соответствующие вершины, стороны и углы. Это соответствие устанавливается не по названию или расположению на листе, а по тому, какие элементы реально совпали. Если у фигур несколько похожих вершин, проверка всех частей помогает не перепутать пары.

Равные фигуры могут быть по-разному расположены, потому что сдвиг или поворот не изменяет расстояний и формы. Например, один треугольник может стоять основанием вниз, а другой — вверх; их положение на листе различно, но после поворота они способны совпасть. Поэтому сравнивать фигуры только в исходном положении неверно: такое сравнение не учитывает допустимое перемещение.

Одинаковый вид ещё не доказывает равенство: фигуры могут быть похожи, но одна окажется чуть больше или отдельные стороны будут другой длины. Не доказывает равенство и совпадение площадей. Например, прямоугольники со сторонами 2 и 6 клеток и 3 и 4 клетки имеют одинаковую площадь — 12 клеток, но их формы и размеры различаются, поэтому полностью совместить их нельзя.

Если равные фигуры наложены и совпали целиком, их соответствующие части тоже совпадают. Например, у совпавших многоугольников каждой стороне одной фигуры соответствует сторона другой той же длины, а совпавшие углы имеют одинаковую величину. Это следует из общего совмещения: часть не может оказаться в другом месте или иметь иной размер, если совпали все точки фигуры. Однако совпадение одной стороны или одного угла само по себе не означает, что равны фигуры целиком.

Как распознать равные фигуры

Сначала определите, что именно сравнивается: вся фигура или отдельные элементы. Затем мысленно выполните допустимое перемещение и проверьте совпадение, не ограничиваясь внешним сходством. Для целых фигур важно проверить все части, а не только одну пару сторон или углов.

Разбор задач

Даны два отрезка на чертеже, расположенные по-разному. Определите, равны ли они.

Отрезки могут быть направлены под разными углами, поэтому их положение не показывает, какой из них длиннее. Представим, что один отрезок можно переместить и повернуть, не меняя его длины. Затем проверим, совпадут ли его концы и все точки со вторым отрезком.

1. Выберем один конец первого отрезка и мысленно совместим его с концом второго.
2. Повернём первый отрезок так, чтобы он лежал вдоль второго.
3. Сравним оставшиеся концы. Если они совпали, совпали и все точки между концами; если один конец выступает, длины различаются.

Ответ: отрезки равны, если после совмещения совпадают оба конца; иначе они не равны. Их исходное направление на чертеже значения не имеет.

Даны два угла, один из которых повёрнут относительно другого. Установите, равны ли они.

Поворот меняет расположение угла на листе, но не раскрытие между его сторонами. Чтобы сравнение было наглядным, сначала совместим вершины, а затем одну сторону одного угла с соответствующей стороной другого. После этого станет видно, занимают ли вторые стороны одинаковое положение.

1. Мысленно переместим первый угол так, чтобы его вершина совпала с вершиной второго.
2. Повернём его вокруг вершины и совместим одну сторону с одной стороной второго угла.
3. Проверим положение вторых сторон: при полном совпадении углы равны, а если они расходятся, углы не равны.

Ответ: углы равны тогда и только тогда, когда после совмещения вершины и одной стороны совпадают и их вторые стороны. Направление, в котором угол был повёрнут на чертеже, выводу не мешает.

Даны две фигуры одинаковой площади, но различной формы. Можно ли утверждать, что они равны?

Одинаковая площадь означает, что фигуры занимают равное количество поверхности, но ничего не говорит о совпадении их границ. Например, прямоугольники со сторонами 2 и 6 клеток и 3 и 4 клетки оба занимают 12 клеток. Они имеют разные пропорции, поэтому одной площади недостаточно для вывода о равенстве.

1. Проверим, можно ли сдвинуть или повернуть первую фигуру, не меняя её форму и размеры.
2. Сопоставим её границы со второй фигурой и посмотрим, совпадают ли все точки.
3. Если форма различается и полного совмещения добиться нельзя, фигуры не равны, даже при одинаковой площади.

Ответ: утверждать равенство нельзя; при различной форме эти фигуры не совпадут при наложении. Равенство площадей не заменяет проверку всей фигуры.

Типичные ошибки

Ошибка: считать фигуры равными только потому, что они похожи внешне. Так происходит, потому что сходство легко заметить, а небольшое различие размеров или формы — пропустить. Проверьте, удаётся ли совместить все точки одной фигуры с другой, а не только похожие части.

Ошибка: заключать, что фигуры равны, если их площади одинаковы. Площадь показывает, сколько места занимает фигура, но не описывает полностью её форму и размеры. Для самопроверки представьте наложение: если контуры не совпадают, равенства нет, сколько бы ни была площадь.

Ошибка: сравнивать фигуры только в том положении, в котором они нарисованы. Такое сравнение не учитывает, что фигуру можно сдвинуть или повернуть, не меняя её. Попробуйте мысленно переместить одну фигуру и лишь затем решайте, совпадают ли они полностью.

Ошибка: принять совпадение отдельных точек, сторон или углов за доказательство равенства целых фигур. Отдельные элементы могут совпасть, хотя остальные части отличаются. Проверьте себя так: после совмещения должен совпасть весь контур и каждая его часть, а не только выбранный элемент.

Связь с другими темами

Для сравнения фигур нужно уметь узнавать геометрические объекты и различать их элементы: точки, стороны, вершины и углы. Без этого трудно определить, какие части совмещать и где искать соответствующие точки. Знание о равных фигурах пригодится при изучении равенства треугольников: там сравнивают целые фигуры и их элементы. Оно также помогает доказывать геометрические утверждения, опираясь на совпадение частей.

Что запомнить

• Равные фигуры полностью совпадают при наложении.
• Положение фигуры на плоскости не определяет её равенство другой фигуре.
• Перемещение и поворот не меняют форму и размеры фигуры.
• При наложении равных фигур соответствующие точки совпадают.
• Равные отрезки можно совместить наложением.
• Равные углы можно совместить наложением.
• Равенство площадей не всегда означает равенство фигур.