Урок 4.Когда фигуры равны

Определения и обозначения

Равные фигуры — фигуры, которые при наложении полностью совпадают. Это значит, что их можно совместить без изменения очертаний и размеров. Определение помогает сравнивать фигуры целиком, а не только отдельные стороны или части.

Наложение — мысленное или практическое перемещение фигуры без изменения её формы и размеров. Например, можно перенести вырезанную фигуру на другую или представить такой перенос. Это понятие нужно, чтобы проверять совпадение фигур, не принимая их разное положение за различие.

Соответствующие точки — точки равных фигур, которые совпадают при наложении. Если совместить фигуры, каждой точке одной из них соответствует точка другой. Это помогает правильно сопоставлять вершины и части фигур, особенно когда они расположены по-разному.

Равные отрезки — отрезки, которые при наложении совпадают; у них одинаковая длина. Один отрезок можно перенести и совместить с другим, не меняя его размера. Понятие нужно, чтобы сравнивать соответствующие части фигур и устанавливать равенство их длин.

Как это устроено

Чтобы проверить равенство фигур, достаточно представить, можно ли совместить одну с другой перемещением без растяжения и деформации. Перенос, поворот или отражение меняют положение фигуры, но сохраняют расстояния между её точками и форму. Поэтому если после такого перемещения совпадут все точки, никакой участок не окажется лишним или недостающим. Если для совпадения приходится вытянуть фигуру либо сжать её, наложение не подходит и фигуры не равны.

При наложении точка одной фигуры оказывается на определённой точке другой, и эти точки называют соответствующими. У многоугольников так находят соответствующие вершины: после совмещения проверяют, какая вершина с какой совпала. Затем можно сопоставить стороны и другие части, соединяющие эти вершины. Порядок важен, потому что случайное сопоставление вершин может привести к сравнению несоответствующих сторон.

Равные фигуры на рисунке могут выглядеть неодинаково, потому что их положение не входит в условие равенства. Одну фигуру можно повернуть или отразить, и её вершины окажутся ориентированы иначе. При этом расстояния между точками и общий контур сохраняются. Поэтому сравнивают не направление фигуры на листе, а возможность совместить её с другой.

Если фигуры полностью совпали, совпали и все их части, в том числе соответствующие отрезки. Совпавшие отрезки имеют одну и ту же длину, поскольку их концы занимают одинаковые положения. Так можно перейти от равенства фигур к равенству отдельных сторон или других соответствующих частей. Однако обратный вывод не всегда верен: равенство нескольких частей ещё не гарантирует, что совпадут фигуры целиком.

Одинаковая форма недостаточна, если размеры фигур различаются. Например, маленький и большой квадраты имеют одну и ту же форму, но сторона одного не совместится со стороной другого при наложении. Чтобы получить совпадение, пришлось бы изменить размер, а это уже не перемещение. Поэтому равенство фигур означает совпадение и формы, и размеров.

Как распознать равные фигуры

Таблица помогает проверить, что именно нужно сравнить и какой вывод можно сделать. Начинайте с наложения фигур целиком, а затем прослеживайте соответствие точек и отрезков. Равенство отдельных частей используйте как проверку, но не как единственное доказательство равенства фигур.

Разбор задач

Задача 1. Даны два отрезка длиной 5 см. Определите, равны ли они, если на рисунке они расположены по-разному.

1. Сначала смотрим, что известно об отрезках: длина каждого равна 5 см.
2. Положение на рисунке не меняет длину. Один отрезок можно перенести и повернуть так, чтобы его конец совпал с концом другого.
3. Так как длины одинаковы, при совмещении совпадут и вторые концы, а значит, совпадут оба отрезка.

Ответ: отрезки равны. Их разное направление на рисунке не влияет на результат сравнения.

Задача 2. Даны две фигуры одинаковой формы, одна из которых больше другой. Можно ли считать их равными?

1. Представим, что меньшую фигуру перемещают и поворачивают, чтобы совместить с большей.
2. Перемещение не изменяет размеры. Поэтому сторона меньшей фигуры останется короче соответствующей стороны большей.
3. Чтобы контуры совпали, пришлось бы увеличить маленькую фигуру, но увеличение не является наложением без изменения размеров.

Ответ: считать фигуры равными нельзя. Совпадение формы не заменяет совпадения размеров.

Задача 3. На клетчатой бумаге изображены два многоугольника. Установите, равны ли они, и укажите соответствующие вершины.

1. Выберите вершину одного многоугольника и попробуйте совместить её с подходящей вершиной другого, представляя перенос фигуры.
2. Если направление сторон не совпадает, мысленно поверните или отразите первый многоугольник. Сравнивайте длины сторон по клеткам и их взаимное расположение.
3. Проследите контур по порядку: каждая следующая вершина первого многоугольника должна попасть на вершину второго, а все стороны и углы — совпасть.
4. Если так совпали все вершины и весь контур, запишите соответствия парами, например: первая вершина — та, на которую она попала, вторая — следующая совпавшая вершина.

Ответ: многоугольники равны, если при таком наложении совпали все вершины и стороны. Соответствующими называют именно те вершины, которые оказались одна на другой; без конкретного изображения перечислить их названия нельзя.

Типичные ошибки

Ошибка: считать равными любые фигуры одинаковой формы. Её допускают, потому что обращают внимание на очертания и забывают о размере. Проверьте, совпадут ли соответствующие стороны без увеличения или уменьшения; если нет, фигуры не равны.

Ошибка: думать, что равные фигуры обязаны одинаково лежать на рисунке. Так кажется, если сравнивать только их направление и положение на листе. Попробуйте перенести или повернуть одну фигуру: если после этого совпадут все точки, разное расположение не мешает равенству.

Ошибка: судить о равенстве по одной совпавшей стороне или части контура. Отдельные части могут быть одинаковыми и у фигур, которые целиком различаются. Для проверки проследите весь контур и убедитесь, что после наложения нет несовпадающих участков.

Ошибка: отождествлять равенство фигур с равенством их периметров или площадей. Эти числа описывают отдельные свойства, но не показывают точную форму: разные фигуры могут иметь одинаковый периметр или площадь. Проверка себя проста: представьте наложение; если фигуры не совпадают целиком, одних равных чисел недостаточно.

Связь с другими темами

Для понимания равенства фигур нужны знакомые понятия: геометрическая фигура, точка, отрезок и длина отрезка. Они позволяют описывать части фигуры и проверять, что именно должно совпасть при наложении. Позже это понятие пригодится при изучении равных треугольников: соответствие их вершин и сторон помогает обосновывать геометрические утверждения. Так сравнение фигур становится основой для доказательств.

Что запомнить

• Равные фигуры полностью совпадают при наложении.
• Перемещение и поворот не меняют размеры и форму фигуры.
• У равных фигур соответствующие точки совпадают при наложении.
• Соответствующие отрезки равных фигур имеют одинаковую длину.
• Одинаковая форма без одинаковых размеров не означает равенства.
• Равные периметры или площади сами по себе не доказывают равенство фигур.