Урок 5.Когда фигуры равны

Определения и обозначения

Равные фигуры — это фигуры, которые совпадают при наложении. Совпасть должна вся фигура: все её границы, вершины и внутренние части. Это определение помогает отличить равные фигуры от похожих, но отличающихся по форме или размерам.

Наложение фигур — мысленное или практическое совмещение одной фигуры с другой без изменения их формы и размеров. Фигуру можно передвинуть или повернуть, но нельзя растягивать и сжимать. Такой способ позволяет сравнивать объекты, даже если они нарисованы в разных местах или направлениях.

Соответствующие точки — точки двух фигур, которые совмещаются при наложении. Например, вершина одной фигуры может совпасть с определённой вершиной другой. Определив такие пары точек, легче понять, какие стороны и другие части фигур расположены друг напротив друга.

Равные отрезки — отрезки одинаковой длины. Их можно совместить концами и всей длиной, если один из отрезков переместить или повернуть. Это понятие нужно, чтобы сравнивать отдельные части фигур и проверять, совпадают ли они при наложении.

Как это устроено

Чтобы проверить равенство фигур, достаточно представить, что одну из них накладывают на другую. При этом фигуру разрешается перемещать и поворачивать, так как эти действия не меняют расстояния между её точками. Растягивание или сжатие, напротив, изменило бы размеры, поэтому результат такого сравнения не показывал бы, равны ли исходные фигуры.

При наложении нужно проверять фигуру целиком, а не отдельный заметный участок. Если совпали только границы, но внутренние части не совпадают, или наоборот, фигуры не наложились полностью. Поэтому сравнивают и контур, и расположение всех частей внутри него, если они есть.

Положение фигуры на листе не влияет на её равенство другой фигуре. Перемещение меняет место, где фигура нарисована, а поворот — направление, в котором она обращена, но её форма и размеры остаются прежними. Именно поэтому две одинаковые фигуры могут выглядеть по-разному, пока их не передвинут или не повернут для сравнения.

Соответствие точек помогает проследить, как устроено наложение. Если вершина первой фигуры совмещается с вершиной второй, можно проверить, совпадают ли стороны, выходящие из этих вершин, и куда попадают остальные точки. Так сравнивают элементы по парам, но окончательный вывод делают только после проверки всей фигуры.

Равные фигуры имеют одинаковую форму и размеры, потому что при наложении одна точно заполняет место другой. Однако их первоначальное расположение или ориентация могут различаться. Например, одна фигура может быть повёрнута или перевёрнута относительно другой, и это не мешает равенству, если полное совмещение возможно без деформации.

Как установить равенство фигур

В таблице собраны три способа сравнения: проверить фигуру целиком, проследить соответствие отдельных элементов и отдельно сравнить отрезки. Пользуйся ею как последовательной проверкой: сначала найди, что именно сравниваешь, затем оцени результат наложения. Для вывода о равенстве фигур необходимо совпадение всех их частей.

Разбор задач

Задача 1. На клетчатой бумаге изображены два одинаковых по форме и размеру многоугольника, один из них повёрнут. Определите, равны ли фигуры.

1. Сравним размеры и форму многоугольников, не обращая внимания на направление их сторон на листе.
2. Мысленно повернём один многоугольник так, чтобы соответствующие вершины и стороны оказались в одном положении.
3. Проверим, совпадают ли при наложении все стороны и внутренние части, а не только отдельные вершины.

Ответ: фигуры равны, если после поворота они полностью совпадают. Поворот не изменяет ни форму, ни размеры многоугольника.

Задача 2. Даны два треугольника. При наложении одна вершина первого совпала с вершиной второго, а две другие вершины не совпали. Можно ли считать треугольники равными?

1. Отметим, что совпадение одной вершины показывает соответствие только одной пары точек.
2. Проверим положение двух остальных вершин и сторон, которые образуют границу треугольников.
3. Поскольку оставшиеся вершины не совпали, границы треугольников наложились не полностью.

Ответ: считать треугольники равными нельзя. Совпадения одной вершины недостаточно: при равенстве должны совместиться все части фигур.

Задача 3. Из нескольких фигур выберите те, которые равны данной фигуре, если некоторые из них перевёрнуты, повёрнуты или расположены иначе.

1. Сравним с образцом форму и размеры каждой фигуры, не оценивая только её положение на листе.
2. Попробуем мысленно переместить или повернуть кандидата, не растягивая и не сжимая его.
3. Оставим те фигуры, у которых после такого совмещения совпали весь контур и все части.

Ответ: подходят только фигуры, которые полностью накладываются на образец. Перевёрнутое или повёрнутое положение само по себе не является причиной исключать фигуру.

Типичные ошибки

Иногда фигуры считают неравными только потому, что одна повёрнута или стоит в другом месте. Так рассуждают, когда сравнивают рисунки в их исходном положении и забывают о допустимом перемещении. Для проверки мысленно передвинь или поверни фигуру и посмотри, можно ли совместить её целиком.

Другая ошибка — объявлять фигуры равными по совпадению одной вершины или части границы. Такое совпадение кажется убедительным, потому что отдельный участок действительно подходит. Проверь остальные вершины и всю границу: если хотя бы часть не совпадает, фигуры не равны.

При наложении нельзя растягивать, сжимать или деформировать фигуру. Иногда это делают, чтобы подогнать несовпадающие части, но после такого действия изменяются форма или размеры исходного объекта. Перед выводом проверь, что ты использовал только перемещение и поворот.

Равенство также путают с одинаковой площадью: предполагают, что фигуры одинакового размера по площади должны совпасть. Это неверно, потому что площадь не показывает, как именно устроена граница фигуры. Чтобы проверить себя, сравни форму и размеры целиком, а не только площадь.

Связь с другими темами

Для сравнения фигур нужно узнавать геометрические фигуры и их элементы: вершины, стороны и границы. Понятие равных отрезков и умение измерять длины помогают сравнивать отдельные части фигур. Позже равенство фигур будет нужно при изучении равенства треугольников и доказательстве геометрических утверждений. Умение находить соответствующие точки помогает прослеживать, какие элементы участвуют в таких сравнениях.

Что запомнить

• Равные фигуры совпадают при наложении.
• Совпадать должны все части фигуры.
• Перемещение и поворот не изменяют форму и размеры фигуры.
• Одинаковое положение фигур на листе не требуется.
• Совпадение только отдельных точек или частей не доказывает равенство.
• Одинаковая площадь сама по себе не означает равенство фигур.