Урок 1.Доли и дроби

Определения и обозначения

Доля — одна из равных частей целого. Части должны быть одинаковыми по размеру: только тогда каждую из них можно считать одной и той же частью целого. Доля нужна, чтобы описывать результат равного деления предмета или величины.

Обыкновенная дробь — запись вида a/b, показывающая, сколько равных частей целого взято. Например, дробь 3/5 означает три части из пяти равных. Такая запись коротко описывает и число частей, и то, как было разделено целое.

Знаменатель — число под дробной чертой. Он показывает, на сколько равных частей разделили целое. По знаменателю можно понять, какого размера одна доля: чем на большее число равных частей разделено целое, тем меньше каждая часть.

Числитель — число над дробной чертой. Он показывает, сколько равных частей взяли или рассматривают. Благодаря числителю дробь отличает одну долю от нескольких, например 1/5 и 3/5.

Как это устроено

Чтобы получить доли, сначала целое делят на одинаковые части. Если части не равны, одна из них может быть больше другой, поэтому общее число частей не сообщает, сколько целого взяли. При равном делении каждую часть можно обозначить одной долей, а несколько частей — дробью.

Знаменатель определяет размер каждой доли, потому что задаёт число частей, на которые делят целое. Например, при делении на пять частей каждая часть — одна пятая. Числитель отвечает уже не за размер части, а за их количество: если взяли три такие части, записывают 3/5.

Дробь 1/n обозначает одну долю из n равных, а m/n — m таких долей. Это можно представить на полоске: разделить её на n одинаковых отрезков и взять один или несколько. Поэтому знаменатель остаётся тем же, пока целое разделено одинаково, а числитель меняется вместе с количеством взятых отрезков.

Чтобы записать дробью часть целого на рисунке, сначала считают все равные части — это знаменатель, затем считают выделенные части — это числитель. Например, если прямоугольник разделён на восемь одинаковых клеток и закрашены три, закрашенная часть равна 3/8. Читают эту дробь «три восьмых»: сначала называют числитель, затем знаменатель в форме названия долей.

Нахождение доли числа связано с делением: число делят поровну на столько частей, сколько указано в знаменателе. Так получают значение одной доли. Если нужны несколько таких долей, результат умножают на число долей, указанное числителем: сначала выясняют размер одной части, затем берут нужное количество частей.

Как читать дробь и понимать её смысл

Сначала найди в записи знаменатель и представь, на сколько одинаковых частей разделено целое. Затем посмотри на числитель: он подскажет, сколько частей нужно отсчитать. По этим двум числам можно прочитать дробь и объяснить её смысл.

Разбор задач

Задача 1. Круг разделили на 8 равных частей, 3 части закрасили. Нужно записать закрашенную часть дробью. Важно отдельно определить общее число частей и количество закрашенных.

1. Всего равных частей 8, значит, знаменатель дроби равен 8.
2. Закрашены 3 части, поэтому числитель равен 3.
3. Записываем дробь: 3/8. Она показывает три части из восьми равных.

Ответ: 3/8 круга.

Задача 2. Найдите 1/6 от 42. Дробь 1/6 означает одну из шести равных частей числа, поэтому нужно разделить 42 на 6. Деление показывает, сколько приходится на каждую часть.

1. Делим число 42 на знаменатель 6: 42 : 6 = 7.
2. Проверяем смысл результата: шесть частей по 7 составляют 42.

Ответ: 1/6 от 42 равна 7.

Задача 3. В коробке 36 карандашей. Четверть карандашей раздали. Нужно узнать, сколько раздали и сколько осталось. Четверть — это одна из четырёх равных частей, поэтому сначала находим число карандашей в одной такой части.

1. Находим четверть: 36 : 4 = 9 карандашей.
2. Значит, раздали 9 карандашей.
3. Чтобы узнать остаток, вычитаем отданное количество из общего: 36 − 9 = 27.
4. Проверяем: раздали одну из четырёх равных частей, а в коробке остались три такие части.

Ответ: раздали 9 карандашей, осталось 27.

Типичные ошибки

Ошибка — считать долями неравные части. Её допускают, когда смотрят только на количество кусочков и не проверяют их размер. Убедись, что целое разделено поровну: если части разные, сначала нельзя описать их одной дробью с таким знаменателем.

Можно перепутать числитель и знаменатель: тогда количество всех частей принимают за количество взятых. Это происходит, если не связать расположение чисел с их смыслом. Проверь себя вопросами: знаменатель отвечает «на сколько разделили?», числитель — «сколько взяли?».

При нахождении доли числа иногда умножают на знаменатель вместо деления. Так можно ошибиться, если воспринимать знаменатель как число, на которое нужно увеличить целое. Одна доля должна быть меньше целого: проверь, что результат деления числа на количество частей действительно соответствует этому смыслу.

Не всякая дробь меньше единицы. Такое предположение верно только тогда, когда числитель меньше знаменателя; при равных числителе и знаменателе дробь равна единице, а при большем числителе — больше единицы. Сравни числа над и под чертой, чтобы определить отношение дроби к целому.

Связь с другими темами

Перед изучением долей полезно уметь делить предметы и числа на равные части и понимать смысл деления. Равное деление помогает увидеть, почему одна доля должна иметь одинаковую величину с другими. Если разделить 20 предметов поровну на 4 группы, в каждой окажется по 5 предметов — так же находят одну четверть числа.

Доли и дроби пригодятся в задачах, где нужно найти часть целого или сравнить величины. Это понятие также служит основой для дальнейшего изучения действий с дробями. Умение видеть в дроби количество равных частей помогает понимать, что именно обозначают вычисления.

Что запомнить

• Дробью описывают части, полученные при равном делении целого.
• Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделено целое.
• Числитель показывает, сколько таких частей взято.
• Дробь 1/n обозначает одну из n равных частей.
• Чтобы найти одну n-ю долю числа, нужно разделить число на n.
• Чтобы найти несколько одинаковых долей, нужно значение одной доли умножить на их количество.