Урок 10.Измерение площади

Определения и обозначения

Площадь фигуры — величина, показывающая, сколько места фигура занимает на плоскости. Равные фигуры имеют равные площади, а площадь фигуры, составленной из неперекрывающихся частей, равна сумме площадей этих частей. Это свойство помогает сравнивать фигуры и вычислять площадь сложной фигуры по её частям.

Единица площади — выбранная величина, с которой сравнивают площадь фигуры. Измерение сводится к тому, чтобы выяснить, сколько единичных квадратов помещается внутри фигуры. Выбор единицы нужен, чтобы записывать результат измерения числом и сравнивать площади разных фигур.

Квадратный сантиметр — площадь квадрата со стороной 1 см. Его обозначают см². Такая единица удобна для измерения небольших поверхностей, например листа бумаги или детали.

Квадратный метр — площадь квадрата со стороной 1 м. Его обозначают м². Квадратные метры подходят для измерения больших поверхностей, например пола комнаты или земельного участка.

Как это устроено

Чтобы измерить площадь, выбирают единичный квадрат и считают, сколько таких квадратов укладывается внутри фигуры без промежутков и наложений. Так получают число, показывающее, сколько раз единичная площадь содержится в измеряемой. Если единичные квадраты не нарисованы, их можно мысленно представить или нанести сетку.

Не всякую фигуру удобно измерять, накладывая на неё квадраты целиком. Её можно разделить на более простые части, площадь которых легче найти, например на прямоугольники. Поскольку части не перекрываются и составляют исходную фигуру, их площади складывают; это позволяет работать и со сложными очертаниями.

Квадратные единицы связаны с единицами длины, потому что единичную площадь задаёт квадрат, а у квадрата есть сторона. Если сторона равна 1 см, получается квадратный сантиметр; если 1 м — квадратный метр. В записи площади длина стороны как бы учитывается дважды, поэтому единица получает показатель 2.

При переводе квадратных единиц нельзя ограничиваться изменением только одной стороны квадрата. Например, 1 м равен 100 см, значит квадрат со стороной 1 м имеет 100 см по каждой стороне. В нём помещается 100 рядов по 100 квадратных сантиметров, поэтому 1 м² = 100 × 100 = 10 000 см².

У прямоугольника единичные квадраты образуют одинаковые ряды. Если в каждом ряду столько квадратов, сколько единиц длины содержит прямоугольник, а рядов столько, сколько единиц составляет его ширина, общее число квадратов равно произведению этих чисел. Поэтому площадь прямоугольника находят по правилу S = a × b, где a и b — длина и ширина, выраженные в одинаковых единицах.

Единицы площади и их соотношения

В таблице большая единица площади выражена через меньшую: при переходе вниз число единиц увеличивается. Чтобы перевести квадратные метры в квадратные сантиметры, умножайте на 10 000, а для обратного перевода делите на 10 000. Для квадратных дециметров и сантиметров используйте множитель 100.

Разбор задач

Задача 1. Прямоугольник на клетчатом рисунке занимает 18 клеток, каждая площадью 1 см². Нужно определить площадь фигуры в квадратных сантиметрах. Клетки уже являются единичными квадратами, поэтому достаточно посчитать их количество.

1. Определяем площадь одной клетки: она равна 1 см². Значит, каждая клетка вносит в общую площадь одну квадратную единицу.
2. Считаем клетки внутри прямоугольника: их 18. Умножаем 18 на 1 см² и получаем 18 см².

Ответ: 18 см². Если бы некоторые клетки были неполными, их части следовало бы объединить и тоже учесть в подсчёте.

Задача 2. Переведите 3 м² в квадратные сантиметры. Нужно выяснить, сколько квадратов площадью 1 см² составляют три квадрата со стороной 1 м. Используем соотношение 1 м² = 10 000 см².

1. Записываем, сколько квадратных сантиметров содержится в одном квадратном метре: 1 м² = 10 000 см². Это число учитывает переход по обеим сторонам квадрата.
2. Умножаем количество квадратных метров на число квадратных сантиметров в одном квадратном метре: 3 × 10 000 = 30 000. Значит, 3 м² равны 30 000 см².

Ответ: 30 000 см². Проверить перевод можно обратным действием: 30 000 делим на 10 000 и получаем 3 м².

Задача 3. Длина прямоугольного участка равна 12 м, ширина — 7 м. Требуется найти площадь участка в квадратных метрах. Поскольку обе стороны указаны в метрах, можно сразу применить правило для прямоугольника.

1. Записываем формулу площади: S = a × b. Здесь a = 12 м, b = 7 м.
2. Перемножаем длину и ширину: 12 × 7 = 84. Единицы также перемножаются: м × м = м², поэтому получаем 84 м².

Ответ: площадь участка равна 84 м². Умножение соответствует подсчёту квадратных метров, расположенных рядами внутри прямоугольника.

Типичные ошибки

Запись «см» вместо «см²» означает, что площадь перепутали с длиной. Так случается, когда забывают, что площадь измеряется квадратами, а не отрезками. Проверьте себя: если в задаче измеряют поверхность, в единице должен быть показатель 2.

Иногда считают, что 1 м² = 100 см², переводя только одну сторону квадрата. Но метр меняется на сантиметр по обеим сторонам: 100 см × 100 см = 10 000 см². Для проверки представьте квадрат со стороной 1 м, разделённый на ряды маленьких квадратов.

Складывать длину и ширину или использовать периметр вместо площади нельзя: эти действия описывают границу прямоугольника, а не занятую им поверхность. Ошибку допускают, если не различают вопросы «сколько места внутри?» и «какова длина границы?». Проверьте смысл ответа: площадь должна быть выражена в квадратных единицах, а не в метрах.

При подсчёте по клеткам легко посчитать только целые клетки и пропустить части, которые вместе дают целую. Это происходит, когда считают отдельные фрагменты, а не всю покрытую ими площадь. Просмотрите края фигуры и объедините подходящие части клеток; например, две половины образуют одну целую клетку.

Связь с другими темами

Для измерения площади полезно уметь измерять длину и переводить единицы длины, например метры в сантиметры. Также нужно понимать, как считать клетки и находить площадь прямоугольника по сетке. Эти умения помогают выбрать подходящую единицу и правильно выполнить вычисления.

Площадь нужна при вычислении поверхностей прямоугольников и других фигур, а также в практических задачах. С её помощью определяют, сколько покрытия понадобится для пола или сколько места занимает участок. В таких задачах важно различать площадь и длину границы, а единицы измерения выбирать по размеру поверхности.

Что запомнить

• Площадь характеризует размер части плоскости, занимаемой фигурой.
• Площадь измеряют квадратными единицами.
• 1 см² — площадь квадрата со стороной 1 см.
• 1 м² = 10 000 см².
• Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины.
• При сложении неперекрывающихся частей площади складываются.