Урок 9.Площади фигур

Определения и обозначения

Площадь фигуры — величина, показывающая, сколько места фигура занимает на плоскости. Чем больше часть плоскости, занятая фигурой, тем больше её площадь. Это понятие нужно, чтобы сравнивать фигуры и вычислять размеры покрытий, участков или помещений.

Единичный квадрат — квадрат со стороной, равной одной единице длины. Его площадь принимают за одну единицу площади. Такой квадрат служит меркой: с ним сравнивают другие фигуры и считают, сколько таких квадратов в них помещается.

Площадь измеряют квадратными единицами: квадратным сантиметром (см²), квадратным дециметром (дм²) и квадратным метром (м²). Квадратный сантиметр — это площадь квадрата со стороной 1 см, а квадратный метр — площадь квадрата со стороной 1 м. Обозначение с верхней двойкой показывает, что измеряется площадь, а не длина.

Площадь прямоугольника — это число единичных квадратов, которыми можно покрыть прямоугольник без промежутков и наложений. Если покрытие получается полным, число квадратов и есть площадь. Такое определение объясняет, почему при вычислениях появляются две измеренные стороны.

Как это устроено

Чтобы найти площадь простой фигуры, её можно разбить на одинаковые единичные квадраты и пересчитать их. Выбор единицы измерения обязателен: число квадратов зависит от размера мерки. Например, одна и та же поверхность содержит больше квадратных сантиметров, чем квадратных метров, потому что сантиметровый квадрат намного меньше.

Разделим прямоугольник на ряды единичных квадратов. Пусть в каждом ряду помещается b квадратов, а таких рядов a. Ряды одинаковы, поэтому общее число квадратов можно найти сложением b + b + ... + b, где слагаемое повторяется a раз, то есть S = a · b.

Стороны прямоугольника задают, сколько единичных отрезков укладывается по длине и по ширине. Если обе стороны измерены в сантиметрах, каждый маленький квадрат имеет стороны 1 см и его площадь равна 1 см². Поэтому при формуле S = a · b результат записывают в квадратных единицах, а не в единицах длины.

Квадрат является прямоугольником, у которого все стороны равны. В формуле прямоугольника обе стороны можно заменить одной и той же длиной a: S = a · a = a². Значок ² означает произведение числа на самого себя, а не умножение на 2.

При переходе к более мелкой единице длины число отрезков по каждой стороне увеличивается. Например, 1 м = 10 дм, поэтому квадрат со стороной 1 м разбивается на 10 рядов по 10 квадратов: 1 м² = 100 дм². Аналогично 1 дм² = 100 см², а при обратном переходе число делят на 100.

Площади квадрата и прямоугольника

Сначала определите вид фигуры и выпишите известные величины. Затем проверьте единицы сторон, выберите формулу и запишите ответ с квадратным обозначением.

Если в задаче требуется другая единица площади, перевод выполняют после вычисления или заранее, но единицы должны оставаться согласованными.

Разбор задач

Задача 1

Условие: найдите площадь прямоугольника со сторонами 6 см и 4 см. Обе длины уже выражены в сантиметрах, поэтому менять единицы не требуется. Используем формулу площади прямоугольника.

1. Записываем формулу: S = a · b.
2. Подставляем значения: S = 6 · 4 = 24 см².
3. Проверяем единицу результата: сантиметры умножены на сантиметры, значит получились квадратные сантиметры.

Ответ: 24 см².

Задача 2

Условие: сторона квадратной плитки равна 3 дм. Найдите её площадь и выразите ответ в квадратных сантиметрах. Сначала удобнее вычислить площадь в квадратных дециметрах, потому что сторона дана в дециметрах. Затем переведём результат, используя соотношение квадратных единиц.

1. Находим площадь квадрата: S = a² = 3² = 9 дм².
2. Переводим квадратные дециметры: 1 дм² = 100 см².
3. Умножаем 9 на 100: 9 дм² = 900 см².

Ответ: 9 дм², или 900 см².

Задача 3

Условие: площадь прямоугольного участка равна 48 м², одна сторона — 6 м. Нужно найти другую сторону и периметр. Неизвестную сторону обозначим b и выразим из формулы площади.

1. Записываем 48 = 6 · b.
2. Делим площадь на известную сторону: b = 48 : 6 = 8 м.
3. Находим периметр: P = 2 · (6 + 8) = 28 м.

Ответ: другая сторона равна 8 м, периметр участка — 28 м.

Типичные ошибки

Нельзя умножать стороны, записанные в разных единицах, например 2 м и 30 см. Такую ошибку допускают, когда сразу подставляют числа в формулу. Сначала переведите 2 м в 200 см или 30 см в 0,3 м.

Запись площади в сантиметрах неверна: сантиметр измеряет длину, а не поверхность. Ошибка появляется из-за того, что в формуле используются длины сторон. Проверьте ответ: после умножения см на см должна получиться единица см².

При переводе квадратных единиц нельзя умножать или делить только на 10. Единица длины меняется по каждой из двух сторон квадрата, поэтому коэффициент равен 10 · 10 = 100. Полезно изобразить квадрат и разбить каждую его сторону на 10 частей.

Площадь квадрата не равна удвоенной стороне: выражение 2a относится к двум сторонам, а не к площади. Правильная формула — S = a · a = a². Для проверки подставьте, например, a = 3: площадь должна быть 9, а не 6 квадратных единиц.

Связь с другими темами

До изучения площади нужно уметь измерять длины, сравнивать отрезки и переводить единицы длины. Эти навыки помогают правильно подставлять данные в формулы и выбирать единицу ответа.

Понятие площади понадобится при вычислении площадей составных фигур. Оно также встречается в практических задачах о плитке, коврах, земельных участках и помещениях.

Формулы прямоугольника и квадрата служат основой для изучения площадей других многоугольников. Более сложные фигуры часто разбивают на прямоугольники и квадраты, а затем складывают найденные площади.

Что запомнить

• Площадь характеризует размер фигуры на плоскости.
• Площадь измеряют квадратными единицами.
• Площадь прямоугольника равна произведению длин его сторон: S = a · b.
• Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны: S = a².
• Перед вычислением стороны нужно выразить в одинаковых единицах.
• При переводе квадратных единиц учитывают, что единица длины возводится в квадрат.