"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В., Разумовский В.А. и др.
Вычитание числа из суммы — способ вычислить выражение вида (a + b) − c, не обязательно сначала находя всю сумму. Если вычитаемое не больше одного из слагаемых, его можно вычесть из этого слагаемого, а другое оставить без изменения. Если оно больше каждого слагаемого, его раскладывают на части и вычитают эти части из разных слагаемых. Такой выбор помогает считать удобнее, сохраняя значение выражения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сумма — результат сложения; в выражении a + b числа a и b называются слагаемыми. Например, в записи 6 + 4 = 10 число 10 — сумма, а 6 и 4 — слагаемые. Это различие помогает понять, какие части выражения можно изменить, чтобы вычислить его удобнее. В записи (a + b) − c сначала рассматривают сумму a + b, а затем вычитают c.
Вычитание числа из суммы — действие над выражением вида (a + b) − c. Здесь a и b складывают, а c вычитают из полученной суммы. Скобки показывают, что сумма рассматривается как единое целое, но вычислять её можно разными способами. Понимание этой записи помогает не перепутать, какое число вычитают и из чего.
Слагаемое — число, которое складывают с другим числом; одно из слагаемых можно уменьшить на вычитаемое, если оно не меньше вычитаемого. Например, из 18 можно вычесть 17, поэтому в сумме 47 + 18 число 18 разрешается заменить на 18 − 17. Второе слагаемое при этом остаётся прежним. Это условие нужно, чтобы выполнить вычитание без отрицательных чисел и правильно сохранить значение выражения.
Чтобы вычислить (a + b) − c, можно сначала найти сумму a + b, а затем вычесть c. Такой путь подходит всегда, когда можно выполнить действия в задании: сложение даёт общую величину, из которой убирают вычитаемое. Например, в выражении (30 + 12) − 5 сначала получаем 42, затем 37. Этот способ особенно удобен, если сумма находится легко или другие преобразования не упрощают вычисление.
Если c не больше одного из слагаемых, вычитание можно выполнить из этого слагаемого: (a + b) − c = (a − c) + b. Причина в том, что вычитание c уменьшает общую сумму на c, независимо от того, из какой её части убрать это число. Например, если к 20 прибавить 7, а затем убрать 4, получится столько же, сколько при сложении 20 − 4 и 7. Условие a ≥ c необходимо, чтобы разность a − c была допустима в изучаемых натуральных числах.
Можно выбрать любое слагаемое, из которого удобно вычесть число, если это слагаемое не меньше вычитаемого. Если условие выполняется для второго слагаемого, используют равенство (a + b) − c = a + (b − c). Например, при 35 + 18 − 16 удобно уменьшить 18, потому что из него можно вычесть 16. Выбор зависит от того, где действие проще выполнить в уме, а не от места слагаемого в записи.
Если вычитаемое больше каждого слагаемого по отдельности, его можно разложить на части и вычесть эти части из разных слагаемых. Например, 40 можно представить как 30 + 10, чтобы вычесть 30 из 83, а 10 из 57. Так сумма уменьшается на 40, поскольку 30 + 10 = 40. Каждую часть нужно подобрать так, чтобы соответствующее слагаемое было не меньше неё.
Выбор способа зависит от чисел: удобное преобразование позволяет избежать лишних вычислений и сохранить значение выражения. Равенство не меняется, потому что суммарное уменьшение слагаемых точно равно вычитаемому. Иногда проще посчитать сумму и только потом вычесть число; в другом случае удобнее сразу уменьшить одно слагаемое. Чтобы выбрать, посмотри, какие действия дают круглые числа или легко выполняются устно.
| Ситуация | Преобразование | Когда применять |
|---|---|---|
| Вычитаемое не больше первого слагаемого | (a + b) − c = (a − c) + b | Когда a ≥ c |
| Вычитаемое не больше второго слагаемого | (a + b) − c = a + (b − c) | Когда b ≥ c |
| Вычитаемое можно разделить на части | (a + b) − (c + d) = (a − c) + (b − d) | Когда a ≥ c и b ≥ d |
| Ни одно слагаемое нельзя уменьшить на всё вычитаемое | Сначала найти сумму, затем вычесть число | Когда не получается вычесть c из одного слагаемого целиком |
Сначала найди в выражении вычитаемое и проверь, можно ли вычесть его из одного слагаемого целиком. Если нельзя, попробуй представить его как сумму удобных частей и распределить их между слагаемыми. Если подходящего разложения нет или оно усложняет счёт, найди сумму и вычти число обычным способом.
Задача 1. Вычислите 47 + 18 − 17. Здесь вычитаемое 17 почти равно одному из слагаемых — 18. Поэтому удобнее не складывать 47 и 18 заранее, а уменьшить 18 на 17. Так сразу появится небольшое слагаемое, которое легко прибавить.
Ответ: 48. Приём сработал, потому что всё вычитаемое убрали только из одного слагаемого.
Задача 2. Вычислите 126 + 74 − 26. Вычитаемое 26 можно убрать из первого слагаемого 126, а второе оставить без изменения. Такой выбор удобен: разность 126 − 26 равна круглому числу 100, поэтому дальнейшее сложение легко выполнить.
Ответ: 174. Для проверки можно сложить 126 и 74, получить 200 и вычесть 26: получится тот же результат.
Задача 3. Вычислите 83 + 57 − 40. Число 40 больше каждого слагаемого нельзя? Проверим: 83 и 57 оба больше 40, однако в предложенном способе удобно распределить вычитаемое на части, чтобы получить круглые числа. Представим 40 как 30 + 10 и вычтем эти части из разных слагаемых.
Ответ: 100. Здесь распределение частей помогает быстро получить сумму; можно также вычесть 40 из одного слагаемого, поскольку 83 ≥ 40, и проверить, что получится тот же результат.
Первая ошибка — вычесть число из обоих слагаемых целиком. Тогда сумма уменьшится на удвоенное вычитаемое: например, вычитание 5 и из первого, и из второго слагаемого уменьшает сумму на 10. Так ошибаются, принимая преобразование за действие над каждым слагаемым сразу. Проверь себя: общее уменьшение должно быть равно вычитаемому, а не его удвоенному значению.
Вторая ошибка — вычитать c из слагаемого, которое меньше c, и получать отрицательное число. В изучаемом способе выбери другое слагаемое, если оно достаточно велико, или раздели вычитаемое на подходящие части. Ошибка возникает, когда не проверяют условие до преобразования. Перед вычислением сравни выбранное слагаемое и вычитаемое.
Третья ошибка — разложить вычитаемое неверно: например, представить 40 как 30 + 20. Тогда общая сумма уменьшится уже на 50, а не на 40. Обычно это происходит при поспешном подборе частей. Сложи части отдельно и убедись, что они дают исходное вычитаемое.
Четвёртая ошибка — менять порядок действий без основания, например вычитать одно слагаемое из другого. Это уже не равносильное преобразование выражения (a + b) − c и может дать неверный ответ. Чтобы не ошибиться, сначала найди сумму, а затем вычти число, либо используй подходящее равенство из таблицы. Проверка вычислением исходного выражения поможет заметить ошибку.
Для работы с выражениями со скобками нужно уметь складывать и вычитать натуральные числа. Также важно понимать, что обозначают сумма и её слагаемые: это помогает правильно выбрать часть выражения для преобразования. Если уверенно выполняешь обычные действия, можно сравнить несколько способов и выбрать самый короткий. Приём особенно пригодится для устных вычислений, упрощения выражений и задач на нахождение остатка.
Почему число можно вычитать только из одного слагаемого?
Потому что нужно уменьшить сумму ровно на вычитаемое. Если вычесть это число из обоих слагаемых, сумма уменьшится в два раза сильнее. Для вычисления можно выбрать одно подходящее слагаемое или распределить вычитаемое между несколькими слагаемыми.
Из какого слагаемого лучше вычитать?
Выбирай слагаемое, из которого вычитание выполнить проще, и проверь, что оно не меньше вычитаемого. Например, удобно вычитать 17 из 18, оставляя другое слагаемое без изменения. Можно выбрать и второе слагаемое, если условие выполняется.
Что делать, если вычитаемое больше каждого слагаемого?
Разложи вычитаемое на части так, чтобы каждую часть можно было вычесть из отдельного слагаемого. Например, 40 можно представить как 30 + 10. Перед вычислением проверь, что части в сумме дают исходное вычитаемое.
Можно ли вычитать число из второго слагаемого?
Да, если второе слагаемое не меньше вычитаемого. Тогда (a + b) − c = a + (b − c). Слагаемое, из которого вычитать удобнее, выбирают по числам в выражении.
Как проверить, что преобразование выполнено правильно?
Вычисли исходное выражение обычным способом: сначала найди сумму, затем вычти число. Сравни результат с вычислением после преобразования. При разложении вычитаемого отдельно убедись, что сумма его частей равна исходному числу.
Урок 14.Вычитание числа из суммы
