"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В., Разумовский В.А. и др.
Вычитание числа из суммы — способ вычислить выражение, не складывая сначала оба слагаемых. Вычитаемое можно вычесть из одного слагаемого, а второе оставить без изменения: так сумма и результат останутся прежними. Этот приём помогает считать быстрее, особенно если одно из слагаемых близко к вычитаемому. Главное — выполнить вычитание только один раз и выбрать слагаемое, из которого его можно вычесть.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сумма — результат сложения, а числа, которые складывают, называются слагаемыми. Например, в записи 8 + 5 = 13 числа 8 и 5 — слагаемые, а 13 — сумма. Это различие помогает не путать сами числа с результатом действия и понимать, какие части выражения можно преобразовывать.
Разность — результат вычитания. В выражении 14 − 6 число 14 называют уменьшаемым, а число 6 — вычитаемым: из уменьшаемого вычитают вычитаемое. Разность равна 8. Названия помогают следить за порядком действий, потому что вычитание, в отличие от сложения, нельзя произвольно переставлять.
Вычитание числа из суммы — преобразование, при котором вычитаемое вычитают из одного слагаемого, а другое оставляют без изменения. Например, вместо (12 + 9) − 7 можно вычислить (12 − 7) + 9. Такой способ нужен, чтобы упростить счёт, не меняя результата исходного выражения.
Вычислить выражение с суммой можно двумя путями: сначала сложить слагаемые, а потом вычесть число или сначала вычесть его из одного слагаемого. Например, (18 + 7) − 5 = 25 − 5 = 20. Если посчитать иначе, получится (18 − 5) + 7 = 13 + 7 = 20: итог одинаковый, потому что из общей суммы убрали те же 5 единиц.
Это правило записывают так: (a + b) − c = (a − c) + b. Здесь a и b — слагаемые, c — число, которое вычитают. Когда от a убирают c, а затем прибавляют b, получается та же величина, что и при вычитании c из всей суммы a + b. Условие a ≥ c означает, что вычитание из первого слагаемого можно выполнить в натуральных числах.
Число можно вычесть и из второго слагаемого: (a + b) − c = a + (b − c), если b ≥ c. Например, (18 + 7) − 5 удобнее считать как 18 + (7 − 5), потому что разность 7 − 5 мала. Можно выбрать любое подходящее слагаемое: второе слагаемое при этом не меняется, а вычитаемое учитывается один раз.
Удобный выбор экономит действия и снижает вероятность ошибки. Если одно слагаемое близко к вычитаемому, разность между ними часто легко найти, а оставшееся слагаемое просто прибавить. Например, в (46 + 29) − 26 выгодно вычесть 26 из 46: получится 20, к которому прибавляют 29. Но если вычитание из выбранного слагаемого выполнить нельзя, нужно рассмотреть другое слагаемое или сначала найти сумму.
Правильность преобразования можно проверить независимым способом. Сначала вычислите исходное выражение по порядку действий: найдите сумму в скобках и вычтите число. Затем сравните результат с ответом, полученным вычитанием из одного слагаемого. Совпадение подтверждает вычисление, а несовпадение показывает, что стоит проверить выбор слагаемого и арифметические действия.
| Способ | Преобразование | Когда удобно применять | Условие |
|---|---|---|---|
| Сначала найти сумму, затем вычесть число | (a + b) − c = сначала a + b, затем − c | Если сумма легко находится или вычитаемое больше каждого слагаемого | Сумму можно вычислить; вычитание из неё выполняется |
| Вычесть число из первого слагаемого | (a + b) − c = (a − c) + b | Если a − c удобно считать | a ≥ c |
| Вычесть число из второго слагаемого | (a + b) − c = a + (b − c) | Если b − c удобно считать | b ≥ c |
| Сравнение способов и выбор удобного | Посчитать двумя подходящими путями и выбрать простой | Если один из способов сокращает вычисления | При преобразовании вычитаемое вычитают только один раз |
Сначала проверьте, можно ли вычесть число из одного из слагаемых, не получая отрицательного результата. Затем оцените, какой вариант проще посчитать. Если подходящего слагаемого нет, найдите сумму и вычитайте из неё.
Сравним прямой порядок действий и применение правила. Во втором способе можно выбрать любое слагаемое, из которого вычитается 5, потому что оба слагаемых не меньше вычитаемого. В каждом варианте число 5 вычитается ровно один раз.
Оба способа дали одинаковый результат, значит, вычисления согласуются. Ответ: 20.
Слагаемое 46 близко к вычитаемому 26, а разность 46 − 26 легко найти. Поэтому выгоднее вычесть 26 именно из первого слагаемого, а 29 оставить без изменения. Складывать 46 и 29 в первую очередь не требуется.
Условие применения правила выполнено: из 46 можно вычесть 26. Ответ: 49.
Из 78 нельзя вычесть 95, поэтому второе слагаемое для применения правила не подходит. Из 125 вычесть 95 можно, и такая разность удобна для счёта. Для проверки отдельно выполним действия в исходном порядке.
Прямой способ подтвердил результат преобразования. Ответ: 108.
Ошибка: вычесть число из обоих слагаемых, например заменить (a + b) − c на (a − c) + (b − c). Так вычитаемое учитывается дважды, поэтому сумма уменьшается слишком сильно. Обычно так происходит, если правило помнят не полностью. Для проверки посчитайте исходную сумму и сравните её с преобразованной: вычитать нужно только один раз.
Ошибка: переставить слагаемые и вычитаемое, например считать (a + b) − c как a + (c − b). В вычитании порядок важен: выражения c − b и b − c обычно имеют разные значения. Такая путаница возникает из-за привычки считать сложение перестановочным действием. Проверьте, что в преобразовании остаётся именно разность выбранного слагаемого и вычитаемого.
Ошибка: пытаться вычесть число из слагаемого, которое меньше вычитаемого. В натуральных числах такая разность не подходит для обычного применения правила, поэтому вычисление заходит в тупик. Перед преобразованием сравните выбранное слагаемое с вычитаемым. Если оно меньше, выберите другое слагаемое или сначала найдите сумму.
Ошибка: думать, что правило меняет значение выражения. Оно меняет только порядок вычислений, а исходная сумма уменьшается на то же число. Иногда удобный способ принимают за другое действие и получают результат, отличный от прямого вычисления. Сверьте ответ с вычислением «сначала сумма, затем вычитание»: значения должны совпасть.
Чтобы пользоваться правилом, нужно знать смысл сложения и вычитания, названия компонентов действий и порядок действий в выражениях со скобками. Сначала выполняют действия в скобках, поэтому исходный пример можно решить прямым способом и использовать его для проверки. Правило вычитания числа из суммы пригодится в устных и письменных вычислениях, когда хочется упростить счёт. Оно также помогает преобразовывать выражения с буквами, подставляя вместо букв числа и сохраняя равенство.
Почему число можно вычесть только из одного слагаемого?
Вычитаемое нужно учесть один раз, поэтому его вычитают только из одного слагаемого. Если вычесть его из обоих, сумма уменьшится на это число дважды и получится неверный результат.
Из какого слагаемого лучше вычитать число?
Выбирайте слагаемое, из которого вычитание можно выполнить и которое делает счёт проще. Например, удобно вычитать число из слагаемого, близкого к нему: разность может получиться небольшой.
Что делать, если вычитаемое больше каждого из слагаемых?
Нельзя применить правило так, чтобы вычесть число из одного слагаемого и получить натуральное число. Сначала найдите сумму, а затем выполните вычитание из неё.
Можно ли сначала найти сумму, а потом выполнить вычитание?
Да, это обычный способ: сначала складывают числа в скобках, а затем вычитают вычитаемое. Преобразование суммы нужно для удобства и не является обязательным.
Как проверить, что правило применено правильно?
Вычислите выражение обычным способом: сначала найдите сумму, затем вычтите число. Сравните полученный результат с ответом после преобразования; результаты должны совпасть.
Урок 15.Вычитание числа из суммы
