Урок 16.Как проверить

Определения и обозначения

Проверка вычисления — повторное действие, которое помогает установить, верно ли найден результат. Иначе говоря, после вычисления мы выполняем другое подходящее действие и смотрим, возвращает ли оно к числам исходного примера. Это нужно, чтобы не полагаться только на первое вычисление и вовремя заметить ошибку.

Обратное действие — действие, с помощью которого проверяют результат другого действия: сложением проверяют вычитание, а вычитанием — сложение. Например, если к числу прибавили 5, вычитание 5 должно вернуть исходное число. Такое действие нужно потому, что оно отменяет результат первого и позволяет проверить его независимо.

Проверка сложения — вычитание из суммы одного слагаемого; должно получиться другое слагаемое. Слагаемые — числа, которые складывают, а сумма — результат сложения. Например, в записи a + b = c числа a и b — слагаемые, а c — сумма; правило проверки помогает убедиться, что результат c найден верно.

Проверка вычитания — сложение разности с вычитаемым; должно получиться уменьшаемое. Уменьшаемое — число, из которого вычитают, вычитаемое — число, которое убирают, а разность — результат. В записи a − b = c проверка c + b = a нужна, чтобы выяснить, действительно ли разность c получена из чисел a и b.

Как это устроено

Сложение и вычитание связаны, потому что одно действие может отменить другое. Если к числу прибавить несколько единиц, а затем столько же единиц вычесть, получится исходное число. Например, после прибавления 7 вычитание 7 возвращает нас к тому, с чего начали. Поэтому результат сложения можно проверить вычитанием, а результат вычитания — сложением.

Чтобы проверить сумму, нужно вычесть из неё одно из слагаемых и сравнить ответ со вторым. Если a + b = c, то из c можно вычесть a и получить b; также можно вычесть b и получить a. Это работает потому, что вычитание убирает из суммы уже известную часть. Если вместо нужного слагаемого вышло другое число, сумма, скорее всего, найдена неверно.

Разность проверяют обратным способом: к результату вычитания прибавляют вычитаемое и сравнивают сумму с уменьшаемым. Если a − b = c, то c + b должно равняться a. Причина в том, что вычитаемое показывает, какую часть убрали из уменьшаемого; чтобы вернуться к нему, эту часть нужно прибавить обратно. Несовпадение означает, что исходный ответ надо проверить.

При проверке не стоит просто повторять исходное вычисление тем же способом. Если при сложении столбиком перепутать разряд или при вычитании неверно занять десяток, повтор такого же действия может привести к той же ошибке. Обратное действие устроено иначе и потому помогает заметить ошибку, которую легко пропустить при повторе. Это не гарантирует, что любая ошибка сразу станет понятна, но показывает, что ответ не согласуется с исходными числами.

Проверка позволяет оценить и правдоподобие результата: например, сумма положительных чисел не должна быть меньше каждого слагаемого. Если обратное действие не вернуло исходное число, сравни его результат с тем числом, которое должно было получиться. Так можно понять, какое равенство нарушено, а затем заново выполнить вычисление и проверить промежуточные шаги. Проверка подтверждает ответ только тогда, когда нужное число получилось точно.

Как проверить сложение и вычитание

Сначала определи, какое действие было в исходном примере, затем выбери соответствующую строку таблицы. Выполни обратное действие и сравни результат с числом в последнем столбце. Совпадение подтверждает вычисление, а несовпадение означает, что нужно искать ошибку.

Разбор задач

Задача 1. Проверь сложение 23 + 14 = 37. Здесь 23 и 14 — слагаемые, а 37 — предполагаемая сумма. Чтобы проверить её, нужно вычесть из суммы одно слагаемое и получить другое. Выберем для вычитания 14.

1. Записываем обратное действие: 37 − 14. Вычитаем 14 из 37 и получаем 23. Это совпало со вторым слагаемым исходного примера.

2. Сверяем результат именно с числом 23, а не просто отмечаем, что вычитание выполнено. Совпадение показывает, что сумма согласуется с исходными слагаемыми. Значит, проверка подтверждена.

Ответ: сложение 23 + 14 = 37 выполнено верно.

Задача 2. Проверь вычитание 56 − 28 = 28. Уменьшаемое здесь равно 56, вычитаемое — 28, а предполагаемая разность — тоже 28. При проверке нужно вернуть вычитаемое обратно, то есть сложить его с разностью. Полученное число сравним с уменьшаемым.

1. Записываем проверку: 28 + 28. Складываем разность и вычитаемое, получаем 56. Это число совпало с уменьшаемым из исходного примера.

2. Поскольку обратное действие вернуло нас к числу 56, вычитание прошло проверку. Совпадения достаточно, чтобы подтвердить ответ для этого примера. Если бы вышло другое число, разность следовало бы вычислить заново.

Ответ: вычитание 56 − 28 = 28 выполнено верно.

Задача 3. При проверке примера 72 − 35 = 47 получилось 47 + 35 = 82. Найди ошибку. Для правильной разности сложение с вычитаемым должно вернуть уменьшаемое 72. Однако проверка дала 82, поэтому равенство не подтвердилось. Это показывает, что вычисление 72 − 35 выполнено неверно, но проверка сама по себе не сообщает, на каком шаге ошиблись.

1. Сравниваем результат проверки 82 с уменьшаемым 72. Числа не равны, значит, ответ 47 нельзя считать правильным. Нельзя исправлять пример только по величине расхождения: нужно пересчитать разность.

2. Вычисляем заново: 72 − 35 = 37. Затем проверяем новым обратным действием: 37 + 35 = 72. Получили исходное уменьшаемое, следовательно, новая разность согласуется с примером.

Ответ: ошибка была в вычитании; верно: 72 − 35 = 37.

Типичные ошибки

При проверке вычитания иногда складывают уменьшаемое с вычитаемым, хотя нужно сложить разность и вычитаемое. Так происходит, если запомнить только слово «сложение», не разобравшись, какие числа надо брать. Проверь себя: для a − b = c должно выполняться c + b = a, то есть к ответу прибавляют вычитаемое.

При проверке сложения можно вычесть из суммы не то слагаемое, а затем ожидать исходное число. Путаница возникает, если не проследить, какое слагаемое вычли и какое осталось. Проверь правило на записи a + b = c: после c − a должно получиться b, а после c − b — a.

Ещё одна ошибка — считать проверку подтверждённой, не сравнив результат обратного действия с нужным числом. Само по себе выполненное сложение или вычитание ещё ничего не доказывает. Проверь себя: назови число, которое должно получиться, и только после этого сравни его с ответом.

Иногда исходное действие просто повторяют тем же способом вместо обратного. Это удобно, потому что не нужно менять ход вычислений, но такая проверка может повторить ту же ошибку. Чтобы обнаружить её, используй обратное действие и проследи, вернулось ли исходное число; если нет, пересмотри вычисление.

Связь с другими темами

Для проверки полезно уверенно выполнять сложение и вычитание, а также различать слагаемые, сумму, уменьшаемое, вычитаемое и разность. Эти названия подсказывают, какие числа участвуют в действии и что именно нужно сравнивать при проверке. Например, зная, что 28 — разность, а 28 — вычитаемое, мы складываем их и проверяем, получили ли уменьшаемое.

Обратное действие пригодится не только при вычислениях с небольшими числами. Оно помогает проверять действия с большими числами и решать уравнения: можно выполнить действие, обратное тому, которое связано с неизвестным числом. Понимание связи сложения и вычитания делает такие задачи понятнее и помогает контролировать каждый результат.

Что запомнить

• Сложение проверяют вычитанием.
• Из суммы вычитают одно слагаемое, чтобы получить другое.
• Вычитание проверяют сложением.
• К разности прибавляют вычитаемое.
• При верной проверке должно получиться число из исходного примера.
• Если проверка не подтвердилась, вычисление нужно пересмотреть.