Урок 17.Как проверить

Определения и обозначения

Обратное действие — действие, которое позволяет восстановить исходное число и проверить результат другого действия. Например, вычитание отменяет сложение, а деление — умножение. Такая связь нужна, чтобы проверить вычисление не повторением того же способа, а движением от ответа к исходным числам.

Проверка сложения — способ убедиться в правильности суммы с помощью вычитания. Из суммы вычитают одно слагаемое и смотрят, получилось ли второе. Так можно выяснить, согласуется ли ответ с обоими числами из примера.

Проверка вычитания — способ проверить разность с помощью сложения или вычитания. Можно прибавить к разности вычитаемое или вычесть разность из уменьшаемого. Эти способы помогают восстановить пропущенный компонент и заметить ошибку.

Проверка умножения и деления — использование деления для проверки умножения, а умножения — для проверки деления. Деление помогает найти множитель по произведению, а умножение восстанавливает делимое по частному и делителю. При остатке учитывают ещё одно число — остаток.

Как это устроено

Обратные действия помогают проверять вычисления, потому что одно действие отменяет результат другого. Если два числа сложили, вычитание одного из них возвращает второе. Если множители перемножили, деление произведения на один из них восстанавливает другой. Поэтому проверка обратным действием связывает ответ с исходными данными и позволяет увидеть, не нарушена ли эта связь.

Чтобы проверить сложение, из найденной суммы вычитают одно слагаемое и сравнивают результат с другим. Например, в равенстве a + b = c должно выполняться c − a = b. Причина проста: сумма состоит из двух слагаемых, и если одно убрать, останется второе. Можно провести проверку и наоборот — вычесть из суммы другое слагаемое.

Вычитание проверяют двумя равенствами, потому что разность связана и с уменьшаемым, и с вычитаемым. Если a − b = c, то к разности c прибавляют вычитаемое b и получают уменьшаемое a. Или из уменьшаемого a вычитают разность c и получают вычитаемое b. Оба способа полезны: они позволяют проверить, что компоненты вычитания не перепутаны.

Умножение проверяют делением, потому что деление отвечает на вопрос, какой множитель использовали. Если a · b = c, то c : a должно равняться b, а c : b — a. Делить нужно на ненулевой множитель: деление на ноль невозможно. Когда проверка даёт исходный множитель, произведение согласуется с обоими множителями.

Деление без остатка проверяют умножением: частное умножают на делитель, и должно получиться делимое. При делении с остатком произведение частного и делителя не охватывает всё делимое, поэтому остаток нужно прибавить: делимое = частное · делитель + остаток. Кроме того, остаток должен быть меньше делителя. Иначе деление можно было бы продолжить, выделив из остатка ещё одну группу.

Как проверить результат арифметического действия

Сначала найди в строке таблицы действие, которое нужно проверить, а затем выполни указанное обратное действие. Сравни полученное число с компонентом из исходного примера. Для деления с остатком проверь оба условия: восстановилось делимое и остаток меньше делителя.

Разбор задач

Задача 1. Проверьте, верно ли вычислено 38 + 27 = 65. Чтобы проверить сумму, вычтем из неё одно слагаемое и посмотрим, вернётся ли второе. Если ответом будет именно исходное слагаемое, это подтвердит вычисление. Выберем для вычитания число 38.

1. Вычитаем из суммы первое слагаемое: 65 − 38 = 27.
2. Сравниваем результат со вторым слагаемым: получили 27, как и в исходном примере.
3. При желании выполняем проверку в обратном порядке: 65 − 27 = 38.

Ответ: равенство 38 + 27 = 65 верно. Оба вычитания возвращают исходное слагаемое, поэтому сумма проверена с двух сторон.

Задача 2. Проверьте равенство 84 − 36 = 48 двумя способами. Здесь уменьшаемое равно 84, вычитаемое — 36, а разность — 48. В первом способе восстановим уменьшаемое сложением, во втором — найдём вычитаемое вычитанием. Разные проверки должны привести к исходным числам.

1. Прибавляем к разности вычитаемое: 48 + 36 = 84. Получили уменьшаемое.
2. Вычитаем разность из уменьшаемого: 84 − 48 = 36. Получили вычитаемое.
3. Сопоставляем оба результата с исходными компонентами вычитания.

Ответ: равенство 84 − 36 = 48 верно. Первый способ восстановил уменьшаемое, а второй — вычитаемое.

Задача 3. Проверьте деление 157 : 12 = 13 (ост. 1). При делении с остатком одного умножения недостаточно: произведение частного и делителя даёт только часть делимого. Поэтому сначала восстановим эту часть, затем прибавим остаток и проверим, что он меньше делителя.

1. Умножаем частное на делитель: 13 · 12 = 156.
2. Прибавляем остаток: 156 + 1 = 157. Получили исходное делимое.
3. Сравниваем остаток с делителем: 1 меньше 12.

Ответ: деление выполнено верно. Равенство 157 = 13 · 12 + 1 выполняется, а остаток меньше делителя.

Типичные ошибки

Ошибка — проверять вычисление тем же способом, которым его выполняли, например ещё раз складывать те же числа. Так можно повторить ту же ошибку и не заметить её, особенно если вычисления делались в уме. Для самопроверки выбери обратное действие и проверь, восстановились ли исходные числа. Если выполняешь повторный расчёт, не считай его заменой обратной проверке.

При проверке вычитания иногда путают уменьшаемое и вычитаемое в равенстве. Это происходит потому, что числа в проверке меняют порядок, а сами названия компонентов легко забыть. Запомни: если a − b = c, то c + b = a, а a − c = b. Подставь числа и проверь, что результат совпадает именно с нужным исходным компонентом.

При проверке деления с остатком можно умножить частное на делитель, но забыть прибавить остаток. Тогда получится число меньше делимого, и проверка ошибочно покажется неудачной. Восстанавливай делимое целиком: частное · делитель + остаток. Например, для 157 : 12 = 13 (ост. 1) нужно вычислить 13 · 12 + 1.

Ещё одна ошибка — признать деление с остатком верным, не проверив, что остаток меньше делителя. Иногда произведение с остатком действительно даёт делимое, но остаток выбран слишком большим, а деление не доведено до конца. После восстановления делимого отдельно сравни остаток и делитель. Если остаток равен делителю или больше него, ответ нужно исправить.

Связь с другими темами

Чтобы пользоваться проверкой, нужно знать названия компонентов и результатов арифметических действий: слагаемые и сумму, уменьшаемое, вычитаемое и разность, множители и произведение, делимое, делитель и частное. Эти названия помогают понять, с каким числом сравнивать результат обратного действия. Проверка пригодится при вычислениях с многозначными числами: она позволяет обнаружить ошибку после расчётов в столбик или устно. Та же идея используется при решении уравнений, когда обратное действие помогает найти неизвестное число.

Что запомнить

• Сложение проверяют вычитанием.
• Вычитание проверяют сложением или вычитанием.
• Умножение проверяют делением.
• Деление проверяют умножением.
• При делении с остатком делимое равно произведению частного и делителя плюс остаток.
• Остаток всегда меньше делителя.