"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В., Разумовский В.А. и др.
Если известна часть числа, можно восстановить целое — это и называют нахождением числа по его доле. Такой способ помогает решать задачи о частях величины: например, узнать количество учеников в классе, если известна часть класса. Главное правило: значение доли нужно разделить на дробь, которая эту долю выражает. Деление на дробь заменяют умножением на обратную дробь, а результат проверяют, находя от него исходную долю.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Доля числа — часть целого, выраженная дробью. Например, ⅗ числа x — это x × ⅗, потому что умножение на дробь показывает, какую часть целого мы берём. Это понятие помогает перейти от всего количества к его части: например, найти три пятых от числа учеников.
Число по его доле — целое, которое нужно восстановить, когда известна величина его части. Если сказано, что 8 — половина неизвестного числа, требуется найти не ещё одну часть, а всё число целиком. Это понятие нужно в задачах, где дана часть величины, а вопрос задан обо всём количестве.
Дробь, соответствующая доле, — дробь, которая указывает, какую часть целого составляет известное значение. Её используют как делитель, чтобы восстановить целое: если известна половина, делят на ½. Такая запись помогает не перепутать известную часть и всё число и выбрать действие для решения.
Чтобы найти долю числа, целое умножают на дробь, выражающую эту долю. Например, если число x, то его треть равна x × ⅓. Нахождение числа по доле — обратная задача: теперь известен результат умножения, а исходное число неизвестно. Поэтому для восстановления целого используют действие, обратное умножению, — деление.
Если величина известной части равна A, а доля записана дробью m/n, то целое находят так: A : (m/n). Действительно, искомое число при умножении на m/n должно дать A. Деление на m/n как раз отвечает на вопрос, какое число при умножении на эту дробь даст известное значение доли. Поэтому нельзя снова умножать A на m/n: так мы нашли бы часть от A.
Деление на дробь можно заменить умножением на обратную дробь. Обратная дробь получается, если поменять местами числитель и знаменатель: для 3/5 это 5/3. Значит, A : (3/5) = A × (5/3). Это правило удобно, потому что умножение на дробь часто проще выполнить по действиям: сначала сократить числа, а затем перемножить.
На примере половины смысл правила виден сразу. Если половина числа равна 8, то всё число состоит из двух таких половин, поэтому оно равно 8 × 2 = 16. Тот же результат получается по общему правилу: 8 : ½ = 8 × 2. Умножение на 2 здесь не отдельное правило, а частный случай деления на дробь.
Проверка связывает ответ с условием задачи. Нужно умножить найденное целое на дробь, выражающую известную долю. Если получено исходное значение части, вычисление выполнено верно. Например, для найденного числа 16 проверяют половину: 16 × ½ = 8.
В таблице первая колонка помогает узнать дробь по словесному описанию доли. Во второй колонке указана дробь, на которую нужно делить значение части, а в третьей — равносильное умножение на обратную дробь. Сначала найди нужную строку, затем подставь известное значение доли и вычисли целое.
| Известная доля | Дробь, выражающая долю | Действие для нахождения целого |
|---|---|---|
| Половина числа | ½ | Разделить на ½, то есть умножить на 2 |
| Треть числа | ⅓ | Разделить на ⅓, то есть умножить на 3 |
| Две трети числа | ⅔ | Разделить на ⅔, то есть умножить на ³⁄₂ |
| Доля a/b числа | a/b | Разделить на a/b, то есть умножить на b/a |
Задача 1. Половина числа равна 8. Найдите число. Здесь известна одна из двух равных частей целого, значит, целое должно быть вдвое больше. Запишем решение общим правилом и проверим результат.
Ответ: 16. Такая проверка подтверждает, что найдено целое, а не другая часть. В этой задаче можно было сразу удвоить 8, потому что половина состоит из двух равных частей. Оба способа дают один результат.
Задача 2. Три пятых числа равны 12. Найдите число. Сначала важно верно прочитать долю: известная часть — это 3/5 всего числа, а не 5/3. Чтобы найти всё число, делим 12 на дробь 3/5.
Ответ: 20. Проверка показывает, что три пятых от 20 действительно равны 12. Здесь удобно сначала разделить 20 на 5, чтобы получить одну пятую, а потом взять три такие части. Число 20 больше известной части 12, как и должно быть для доли, меньшей целого.
Задача 3. На экскурсию отправились 18 учеников, что составляет ¾ класса. Сколько учеников в классе? Количество учеников во всём классе неизвестно, поэтому обозначим его за x. По условию три четверти от x равны 18.
Ответ: 24 ученика. Мы получили целое количество учеников, а не только часть класса. При проверке одна четверть от 24 равна 6 ученикам, поэтому три четверти составляют 18. Это совпадает с числом участников экскурсии.
Иногда значение доли умножают на дробь, выражающую долю. Так снова находят часть от известного значения, хотя нужно восстановить целое; ошибка возникает, если не различать, какое число дано в условии. Перед вычислением запиши смысл: известная часть = целое × дробь. Чтобы найти целое, раздели известную часть на дробь.
При делении на дробь можно по ошибке умножить на неё же. Так нарушается правило замены деления: нужно брать обратную дробь, поменяв местами числитель и знаменатель. Например, 12 : ⅗ превращается в 12 × ⁵⁄₃, а не в 12 × ⅗. Проверь запись, прежде чем считать.
Ещё одна ошибка — перепутать дробь доли и обратную дробь. Для трёх пятых в условии стоит ⅗, поэтому исходное действие — 12 : ⅗; дробь ⁵⁄₃ появляется только при замене деления умножением. Чтобы проверить себя, сначала назови долю словами и запиши её числителем и знаменателем в правильном порядке.
Ответ иногда оставляют без проверки или принимают за целое число, хотя оно не подходит условию. Если доля меньше единицы и число положительно, целое должно быть больше известной части. Умножь ответ на дробь из условия: результат обязан совпасть с данной величиной. Если не совпал, проверь действие и вычисления.
Для этой темы нужно уметь находить дробь от числа: умножать целое на дробь и понимать, какую часть целого она показывает. Например, запись ¾ числа означает взять три из четырёх равных частей. Знание обратного действия позволяет перейти от такой части обратно к целому.
Навык применяется в текстовых задачах, где нужно восстановить всю величину по её части, в том числе в задачах на проценты и пропорции. Процент тоже выражает долю целого: например, 25% — это ¼. Поэтому можно сначала представить процент дробью, а затем разделить известную часть на эту дробь.
Как понять, что в задаче нужно найти число по его доле?
В условии дана часть некоторого целого и сказано, какую долю она составляет. Спрашивают при этом всё целое, например весь класс, а не его часть.
Почему значение доли нужно делить на дробь?
При нахождении доли число умножают на дробь: целое × доля = известная часть. Чтобы восстановить целое, нужно выполнить обратное действие — разделить часть на эту дробь.
Как найти число, если известны три пятых от него?
Разделите известное значение на 3/5. Это равносильно умножению на обратную дробь 5/3.
Почему деление на дробь заменяют умножением на обратную?
Деление на число означает умножение на число, обратное делителю. Поэтому при делении на 3/5 умножают на 5/3; произведение дробей 3/5 и 5/3 равно 1.
Как проверить, правильно ли найдено целое число?
Умножьте найденное целое на дробь из условия. Если получилось известное значение доли, ответ верен.
Урок 17.Нахождение числа по его доле
