"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В., Разумовский В.А. и др.
Если известна часть числа, по ней можно восстановить целое. Например, зная, чему равна одна пятая, достаточно выяснить, сколько таких частей составляют число. Если дана не одна, а несколько равных частей, сначала находят одну часть, а затем всё число. Для этого используют умножение или деление на дробь. Главное — понять, какую часть целого показывает известное значение, выбрать обратное действие и проверить результат.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Доля числа — одна или несколько равных частей целого. Чтобы получить одну n-ю долю, целое делят на n одинаковых частей; каждую такую часть записывают как 1/n числа. Например, если яблоко разделили поровну на четыре части, одна часть составляет ¼ яблока. Понятие доли помогает точно описать, какую часть целого мы знаем.
Дробь числа — результат нахождения указанной дробью части этого числа. Например, ⅗ числа означает, что число разделили на пять равных частей и взяли три из них. Если число равно 20, то ⅗ от 20 — это 12. Дробь показывает, сколько равных частей взято из общего числа частей.
Нахождение числа по его доле — способ восстановить целое, если известно значение его части. В условии задано, какая доля целого известна и чему она равна, а найти нужно всё число. Например, если ¼ числа равна 6, нужно выяснить, сколько составляют все четыре четверти. Такой способ нужен, когда известна часть величины, но требуется определить её полный размер.
Обратное число — число, произведение которого с данным числом равно 1. Например, для дроби ⅗ обратной будет ⁵⁄₃, потому что ⅗ · ⁵⁄₃ = 1. Это понятие используют при делении на дробь: делитель заменяют обратной дробью, а деление — умножением. Так вычисления становятся проще.
Если известна одна n-я доля числа, целое получают умножением этой доли на n. Причина в том, что целое состоит из n одинаковых частей, и значение каждой из них уже известно. Например, если одна часть равна 4 и всего таких частей пять, целое составит 4 · 5. Сложение пяти одинаковых чисел заменяется умножением на 5.
Если известно, чему равны m/n числа, это означает, что известны m одинаковых n-х долей. Чтобы узнать одну такую долю, известное значение делят на m. Затем эту долю умножают на n: столько частей нужно сложить, чтобы получить всё число. Например, если 3/7 числа равны 18, то сначала делят 18 на 3, а результат умножают на 7.
Тот же способ можно записать одним действием: известную часть делят на дробь, которой она является. Так, если m/n числа равны a, то целое равно a : (m/n). Это работает потому, что деление отвечает на вопрос, сколько раз делитель содержится в делимом; здесь мы восстанавливаем число, часть которого составляет известное значение. Получается то же самое, что сначала разделить a на m, а потом умножить на n.
Деление на дробь заменяют умножением на обратную дробь: a : (m/n) = a · (n/m). Например, деление на 2/3 заменяется умножением на 3/2. Эти способы дают один результат, потому что обратная дробь n/m компенсирует умножение на m/n: дроби m/n и n/m в произведении дают 1. Поэтому a · n/m — такое число, для которого m/n составляет a.
Ответ полезно проверить обратным действием. Для этого от найденного целого находят ту долю, которая была указана в условии. Если, например, известно значение 3/7 числа, найденное число умножают на 3/7. Результат должен совпасть с известным значением части; если не совпал, нужно проверить выбор действия и вычисления.
Таблица показывает, как перейти от известной части к целому и каким действием проверить результат. Если дана дробь числа, выбирай один из двух равносильных способов: деление на дробь или последовательное восстановление частей. Проверка всегда возвращает к условию задачи.
| Что известно | Как найти целое | Проверка |
|---|---|---|
| 1/n числа равна a | Умножить a на n | Разделить результат на n |
| m/n числа равна a | Разделить a на m и умножить на n | Найти m/n от результата |
| Дробь m/n числа равна a | Разделить a на m/n, то есть умножить на n/m | Полученная доля должна быть равна a |
Задача 1. Одна пятая числа равна 7. Найдите число. Известно значение одной из пяти равных частей, поэтому целое можно собрать, взяв эту часть пять раз. Умножаем 7 на 5 и получаем 35.
Ответ: 35.
Задача 2. Три седьмых числа равны 18. Найдите число. Число 18 соответствует трём одинаковым седьмым долям, а не одной. Поэтому сначала выясняем значение одной доли, разделив 18 на 3, и только затем восстанавливаем семь долей.
Ответ: 42.
Задача 3. Длина ленты равна 24 см, что составляет 2/3 длины всей ленты. Найдите длину всей ленты и проверьте ответ. Значение двух третей известно, а нужно получить три трети. Сначала можно определить одну треть, разделив 24 на 2, а затем умножить её на 3. Это равносильно делению 24 на 2/3.
Ответ: 36 см.
Иногда известную часть умножают на дробь, хотя требуется восстановить целое. Такое действие находит долю от уже известного числа, а не исходное число. Ошибку допускают, потому что в задачах о долях часто встречается умножение на дробь. Проверь себя: если число найдено по его части, вычисление заданной доли от ответа должно вернуть известное значение.
При известной дроби m/n могут умножить известную часть на n и забыть учесть числитель m. Но известное значение относится не к одной n-й доле, а к m таким долям. Сначала нужно разделить его на m, чтобы найти одну часть, а затем умножить на n. Проверка нахождением m/n от результата покажет, верно ли восстановлено целое.
При замене деления умножением иногда переворачивают дробь не в ту сторону. Делитель m/n нужно заменить на обратную дробь n/m, а не оставить прежнюю или перевернуть результат. Ошибку проще заметить, проверив произведение: исходная и обратная дроби должны дать 1. Затем проверь, что найденное число, умноженное на исходную дробь, равно известной части.
Некоторые не проверяют ответ и поэтому не замечают неверно выбранного действия или ошибки в вычислениях. Полученное число само по себе может выглядеть правдоподобно, но не соответствовать условию. Чтобы проверить результат, вычисли заданную долю найденного числа. Если она не равна известному значению, вернись к шагам решения и найди ошибку.
Для решения нужны умножение и деление натуральных чисел и обыкновенных дробей, а также понимание числителя и знаменателя. Тема продолжает изучение нахождения дроби от числа: эти задачи обратны друг другу. Чтобы найти долю, умножают целое на дробь, а чтобы восстановить целое по доле — делят на неё. Этот навык пригодится при решении задач на проценты, пропорции и восстановление величины по известной части.
Как найти число, если известна одна его доля?
Если известна одна n-я доля, умножь её значение на n. Например, если ⅕ числа равна 7, то число равно 7 · 5 = 35. Проверка: 35 : 5 = 7.
Почему при нахождении целого нужно умножать, а не делить?
Одно целое состоит из n одинаковых n-х долей. Поэтому, чтобы собрать целое из известной одной доли, её значение нужно взять n раз, то есть умножить на n.
Как найти число, если известны не одна доля, а несколько?
Если m/n числа равны a, сначала найди одну n-ю долю: раздели a на m. Затем умножь результат на n, чтобы получить целое. Коротко это записывают так: a · n/m.
Почему деление на дробь заменяют умножением на обратную?
Обратная дробь при умножении на исходную даёт 1. Поэтому деление на дробь m/n можно заменить умножением на n/m: результатом будет число, которое при умножении на m/n даёт известную часть.
Как проверить, что число найдено правильно?
Найди от полученного числа ту долю, которая была дана в условии. Если известная часть равна m/n числа, умножь найденное число на m/n. Ответ верный, если получилось исходное значение части.
Урок 16.Нахождение числа по его доле
