Урок 15.Нахождение числа по его доле

Определения и обозначения

Доля числа — часть числа, выраженная дробью. В дроби a/b знаменатель b показывает, на сколько равных частей разделили целое, а числитель a — сколько таких частей взяли. Это понятие помогает точно записать, какую часть целого составляет известная величина.

Число по его доле — исходное целое, которое нужно восстановить, если известна величина одной или нескольких его долей. Например, по условию 3/5 числа равны 24 требуется найти всё число. Такое обозначение удобно использовать в задачах, где целое неизвестно, а часть уже дана.

Нахождение числа по его доле — действие, обратное нахождению доли числа. Известную часть делят на соответствующую дробь, чтобы вернуться от части к целому. Это правило позволяет решать задачи о длине пути, количестве предметов, массе и других величинах.

Как это устроено

Целое число можно представить как 1, а его долю — как дробь от единицы. Если a/b числа x равны c, то сначала целое x умножили на a/b и получили c: x · a/b = c. Значит, для восстановления x нужно выполнить действие, обратное умножению, — разделить известную величину c на дробь a/b.

Делить, а не умножать, нужно потому, что известная часть обычно меньше целого, когда доля меньше единицы. Например, 3/5 числа — это только часть всего числа, поэтому целое должно быть больше 24. Умножение 24 на 3/5 ещё уменьшило бы число, а деление на 3/5 увеличивает его и возвращает к исходному значению.

Из равенства x · a/b = c получаем x = c : a/b. Деление на дробь заменяют умножением на обратную дробь, поэтому x = c · b/a. Так появляется формула нахождения числа по его доле: нужно умножить известную часть на знаменатель и разделить на числитель.

При вычислении сначала преобразуйте смешанное число в неправильную дробь, если доля дана смешанным числом. Затем замените деление умножением на дробь, обратную делителю, и сократите результат, если это возможно. Например, 12 : 1 1/2 = 12 : 3/2 = 12 · 2/3 = 8.

Результат проверяют обратным действием: от найденного числа находят указанную в условии долю. Если при вычислении 3/5 числа получилось 40, проверяем: 40 · 3/5 = 24. Полезно также сравнить числа: при доле меньше единицы найденное целое должно быть больше известной части.

Нахождение числа по его доле

Таблица показывает, какие величины нужно сопоставить и каким действием получить исходное число. Сначала найдите в условии дробь и значение её доли, затем примените формулу. Последний столбец помогает быстро обнаружить ошибку в вычислениях.

Разбор задач

Задача 1

3/5 некоторого числа равны 24. Нужно восстановить всё число, зная величину его части. Доля 3/5 меньше единицы, поэтому ответ должен быть больше 24.

1. Обозначим искомое число буквой x.
2. Запишем действие: x = 24 : 3/5.
3. Заменим деление умножением на обратную дробь: 24 · 5/3 = 40.

Ответ: 40. Проверка: 40 · 3/5 = 24, значит найденное число подходит.

Задача 2

7/8 пути составляют 42 км. Требуется найти длину всего пути, то есть целое по известной доле. Поскольку 7/8 меньше 1, вся длина должна быть немного больше 42 км.

1. Запишем кратко: 7/8 пути — 42 км, весь путь — x км.
2. Найдём целое: x = 42 : 7/8 = 42 · 8/7 = 48 км.
3. Проверим указанную часть: 48 · 7/8 = 42 км.

Ответ: длина всего пути равна 48 км.

Задача 3

После того как турист прошёл 5/6 маршрута, ему осталось 8 км. В условии дана не пройденная, а оставшаяся часть маршрута. Поэтому сначала нужно определить её долю, а уже затем найти целое.

1. Весь маршрут — 1, значит оставшаяся доля равна 1 − 5/6 = 1/6.
2. 8 км — это 1/6 маршрута, поэтому весь маршрут равен 8 : 1/6 = 8 · 6 = 48 км.
3. Проверим: 48 · 5/6 = 40 км пройдено, а 48 − 40 = 8 км осталось.

Ответ: длина всего маршрута равна 48 км.

Типичные ошибки

Частая ошибка — умножить известную часть на дробь вместо деления на неё. Так происходит из-за смешения двух обратных задач: при нахождении доли умножают, а при восстановлении целого делят. Проверьте себя оценкой: если доля меньше 1, результат не может быть меньше известной части.

Иногда при делении переворачивают дробь неправильно, меняя местами только числитель или только знаменатель. Обратная дробь получается полной заменой мест: a/b превращается в b/a. После вычисления выполните обратную проверку умножением на исходную долю.

В составной задаче можно принять оставшуюся часть за весь маршрут или другую величину за нужную долю. Ошибка появляется, если не связать слова условия с целым: после прохождения 5/6 остаётся не 5/6, а 1/6. Запишите весь объект как 1 и найдите недостающую часть вычитанием.

Некоторые не выполняют проверку и не замечают неверный ответ. Найдите указанную долю от результата и сравните её с условием. Если равенства нет, проверьте определение доли и действие при делении.

Связь с другими темами

До этой темы нужно уметь находить долю числа, понимать смысл числителя и знаменателя, а также делить натуральные числа и дроби. Нахождение числа по его доле является обратной задачей к нахождению доли числа: действия возвращают от части к целому. Позже это правило пригодится в задачах на проценты, пропорции, масштаб, скорость и восстановление целого по известной части.

Что запомнить

• Чтобы найти число по его доле, известную часть делят на эту долю.
• Если a/b числа равны c, то всё число равно c : a/b.
• Деление на дробь заменяют умножением на обратную дробь.
• Если доля меньше единицы, исходное число больше известной части.
• В составной задаче сначала находят долю, которая соответствует известному значению.
• Результат полезно проверять нахождением указанной доли от найденного числа.