"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В., Разумовский В.А. и др.
Вычитание суммы из суммы — действие, при котором из одной суммы вычитают другую: (a + b) − (c + d). Чтобы вычислить такое выражение, можно раскрыть скобки, изменив знак каждого слагаемого вычитаемой суммы, а затем перегруппировать слагаемые. Это помогает подобрать удобные пары и считать быстрее. Результат легко проверить: к разности прибавляют вычитаемую сумму и получают уменьшаемую.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сумма — это результат сложения, а также выражение, в котором числа соединены знаком «+». Например, в записи 12 + 5 сумма равна 17, а само выражение 12 + 5 тоже называют суммой. Это слово нужно, чтобы отличать результат сложения от отдельных чисел, которые в него входят. Эти числа называются слагаемыми.
Уменьшаемое — число или выражение, из которого вычитают. Например, в записи 18 − 7 уменьшаемое — число 18, а в выражении (a + b) − (c + d) уменьшаемым является сумма a + b. Это название помогает понять, какая часть записи отвечает за исходное количество. При вычитании суммы из суммы уменьшаемое тоже может состоять из нескольких слагаемых.
Вычитаемое — число или выражение, которое вычитают из уменьшаемого. В записи 18 − 7 вычитаемое — 7, а в выражении (a + b) − (c + d) вычитаемое — сумма c + d. Название показывает, какое количество нужно убрать. Если вычитаемое записано как сумма, при вычислении приходится учитывать каждое её слагаемое.
Вычитание суммы из суммы — действие вида (a + b) − (c + d), где и уменьшаемое, и вычитаемое представлены суммами. Буквы обозначают числа, а скобки показывают, какие слагаемые объединены в каждую сумму. Результат такого действия называют разностью. Это обозначение позволяет применить общее правило и вычислять выражения разными удобными способами.
Возьмём пример (28 + 17) − (8 + 7). Сначала можно найти суммы в скобках: 28 + 17 = 45, 8 + 7 = 15, поэтому разность равна 45 − 15 = 30. Но можно раскрыть скобки и сразу записать 28 + 17 − 8 − 7. Знаки у обоих слагаемых вычитаемой суммы стали минусами, потому что вычитается вся сумма 8 + 7.
Общее правило опирается на связь вычитания со сложением: если из числа вычитают сумму, то можно сначала вычесть одно её слагаемое, а затем другое. Поэтому (a + b) − (c + d) = (a + b) − c − d = a + b − c − d. Равенство показывает, что перед каждым слагаемым второй суммы появляется знак минус. Если изменить знак только у c, получится другое выражение, в котором d не вычитается.
После раскрытия скобок слагаемые можно перегруппировать, чтобы найти удобные пары. Например, в 28 + 17 − 8 − 7 можно соединить 28 с −8, а 17 с −7. Тогда выражение превращается в (28 − 8) + (17 − 7), и вычисления становятся простыми. Такое преобразование возможно благодаря переместительному и сочетательному свойствам сложения: слагаемые можно переставлять и объединять по-разному.
Не всегда один способ группировки удобнее другого. В примере (28 + 17) − (8 + 7) можно сначала вычислить две суммы, а можно раскрыть скобки и вычесть попарно; оба пути приводят к 30. Выбор зависит от чисел: иногда быстрее получить круглые суммы, а иногда — небольшие разности. Перегруппировка меняет порядок действий, но не значение исходного выражения.
Проверить результат можно обратным действием. Если в примере разность равна 30, прибавим к ней вычитаемую сумму: 30 + (8 + 7) = 30 + 15 = 45. Число 45 совпало с уменьшаемой суммой 28 + 17. Значит, вычисление согласуется с правилом: разность и вычитаемое вместе дают уменьшаемое.
| Способ | Преобразование | Когда удобно |
|---|---|---|
| Раскрыть скобки у вычитаемой суммы | (a + b) − (c + d) = a + b − c − d | Когда нужно убрать скобки и увидеть все слагаемые |
| Перегруппировать слагаемые | a + b − c − d = (a − c) + (b − d) | Когда можно подобрать простые пары |
| Вычесть попарно и сложить разности | (a − c) + (b − d) | Когда разности легко вычислить устно |
| Проверить результат сложением | разность + вычитаемая сумма = уменьшаемая сумма | После вычисления для проверки ответа |
Сначала выбери преобразование, которое подходит к числам в примере. Для удобного попарного вычитания сначала раскрой скобки, а затем переставляй слагаемые, сохраняя их знаки. Проверка сложением помогает убедиться, что полученная разность верна.
Вычислить можно, сначала найдя суммы в скобках, но здесь есть простые пары: 28 и 8, 17 и 7. Чтобы их увидеть, раскроем скобки и перегруппируем слагаемые. Важно сохранить знак минус у обоих слагаемых второй суммы.
Ответ: 30. Вычитание попарно оказалось коротким, потому что каждая пара дала круглое число. Можно проверить результат: 30 + (8 + 7) = 45, а 28 + 17 тоже равно 45.
Здесь тоже полезно раскрыть скобки, но сначала стоит решить, как сгруппировать числа. Если соединить 46 с −26, а 35 с −15, получатся разности 20 и 20. Такая группировка проще, чем отдельно вычислять суммы 81 и 41, хотя оба пути правильны.
Ответ: 40. Мы подобрали пары так, чтобы вычитать круглые десятки. Для проверки можно сложить 40 и вычитаемую сумму 26 + 15 = 41: получится 81, то есть уменьшаемая сумма 46 + 35.
В выражении по три слагаемых, поэтому удобные пары нужно найти среди всех чисел. После раскрытия скобок получатся три положительных и три отрицательных слагаемых. Сгруппируем их так, чтобы вычислить простые разности, а затем проверим ответ сложением.
Ответ: 100. Уменьшаемая сумма равна 125 + 78 + 25 = 228, поэтому проверка совпала. Обрати внимание: одна из разностей получилась отрицательной, но это не мешает сложить все результаты, учитывая их знаки.
При раскрытии скобок иногда меняют знак только у первого слагаемого вычитаемой суммы. Так происходит, если воспринимать скобки как одно целое и забыть, что сумму можно вычитать по слагаемым. Проверь запись: в (a + b) − (c + d) после раскрытия должны стоять −c и −d. Подстановка чисел или обратное сложение поможет заметить пропущенный минус.
Другая ошибка — считать, что вычитать можно только слагаемые, стоящие на одинаковых местах. Порядок в записи не указывает на обязательные пары, а подходящую группировку выбирают по удобству вычислений. Сначала раскрой скобки, затем переставь слагаемые, не меняя их знаки. Для проверки сравни полученную запись с исходной или прибавь вычитаемую сумму к ответу.
Нельзя без преобразований менять местами уменьшаемое и вычитаемое. Например, 12 − 5 и 5 − 12 — разные разности, поэтому такая перестановка меняет результат. Переставлять можно слагаемые после раскрытия скобок, учитывая, что каждое сохраняет свой знак. Если сомневаешься, проверь преобразование вычислением обеих записей на числовом примере.
При раскрытии скобок легко ошибиться в знаках получившихся разностей или потерять минус при перегруппировке. Такая ошибка часто возникает, когда несколько слагаемых переставляют мысленно, не записывая промежуточный шаг. Запиши раскрытое выражение, сохрани знаки и только потом выдели пары. В конце прибавь вычитаемую сумму: ответ должен дать уменьшаемую сумму.
Для вычитания суммы из суммы нужны знакомые правила сложения и вычитания, а также умение раскрывать скобки после знака минус. Приём связан с переместительным и сочетательным свойствами сложения: они позволяют менять порядок и группировать слагаемые, не меняя их общей суммы. Поэтому способ пригодится для упрощения числовых и буквенных выражений. Он также помогает быстрее выполнять устные вычисления, когда удаётся подобрать удобные пары.
Почему при раскрытии скобок меняются знаки у всех слагаемых?
Потому что вычитается вся сумма, а не только её первое слагаемое. По правилу вычитания суммы каждое слагаемое вычитаемой суммы нужно вычесть отдельно: (a + b) − (c + d) = a + b − c − d.
Можно ли вычитать слагаемые попарно?
Да, если сначала удобно перегруппировать слагаемые в обеих суммах. Например, можно подобрать пары, разность которых легко найти. Нельзя считать, что подходящими являются только слагаемые, стоящие на одинаковых местах.
Как понять, какие слагаемые удобнее сгруппировать?
Ищи пары, которые дают круглые числа или простые разности: например, 28 и 8, 17 и 7. Перегруппировка должна сохранять каждую сумму, поэтому слагаемые переставляют или объединяют только внутри неё либо после раскрытия скобок.
Можно ли менять местами слагаемые в выражении с вычитанием?
В исходной разности нельзя произвольно менять местами уменьшаемое и вычитаемое: от этого изменится ответ. После раскрытия скобок слагаемые можно переставлять, если учитывать их знаки и не нарушать значение выражения.
Как проверить результат вычитания суммы из суммы?
Прибавь к полученной разности вычитаемую сумму. Если результат равен уменьшаемой сумме, вычисление верное. Это проверка вычитания обратным действием — сложением.
Урок 20.Вычитание суммы из суммы
