"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В., Разумовский В.А. и др.
Рациональные вычисления помогают считать быстрее и удобнее, не изменяя значение выражения. Для этого переставляют и группируют слагаемые или множители, ищут круглые числа, раскладывают множители на удобные части и используют распределительное свойство. Например, сумму можно преобразовать так, чтобы сначала получить 100, а произведение 25 · 36 — заменить на 25 · 4 · 9. Главное — выбрать приём, который уменьшает количество сложных действий.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Рациональные вычисления — это способы выполнять вычисления проще и быстрее, выбирая удобный порядок действий и преобразуя выражение. Значение выражения при этом не меняется. Такой подход нужен, чтобы заменить длинный счёт несколькими понятными действиями.
Переместительное свойство сложения и умножения разрешает менять местами слагаемые или множители: a + b = b + a и a · b = b · a. Результат от перестановки не изменяется. Свойство помогает поставить рядом числа, которые удобно сложить или перемножить.
Сочетательное свойство сложения и умножения позволяет по-разному группировать слагаемые или множители: (a + b) + c = a + (b + c) и (a · b) · c = a · (b · c). Скобки показывают, какие числа объединяются первыми. Благодаря этому можно сначала выполнить наиболее удобную часть вычисления.
Распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания связывает умножение со скобками: a · (b + c) = a · b + a · c, а a · (b − c) = a · b − a · c. Оно помогает раскрывать скобки и выносить общий множитель. С его помощью число можно заменить суммой или разностью круглого числа и небольшой добавки.
Рациональный приём начинается с поиска в выражении удобных чисел. Сначала посмотри, нет ли пары с круглой суммой, одинакового множителя или числа, близкого к 10, 100 или 1000. Такой поиск экономит действия: вместо последовательного счёта можно сразу получить простой промежуточный результат.
При сложении переместительное свойство помогает поставить подходящие слагаемые рядом, а сочетательное — объединить их в скобки. Например, в выражении 28 + 47 + 72 числа 28 и 72 удобно соединить, потому что их сумма равна 100. Получается 28 + 47 + 72 = (28 + 72) + 47 = 100 + 47, и оставшееся действие становится простым.
Те же свойства работают с множителями, поэтому иногда число выгодно разложить на произведение частей. В примере 25 · 36 число 36 можно представить как 4 · 9: 25 · 36 = 25 · 4 · 9. Сначала выполняют 25 · 4 = 100, после чего умножают 100 на 9, потому что круглое число считать легко.
Распределительное свойство особенно полезно, когда множитель близок к круглому числу. Так, 99 — это 100 − 1, поэтому 37 · 99 = 37 · (100 − 1) = 37 · 100 − 37 = 3663. Выбор приёма зависит от выражения: сравни возможные преобразования и оставь то, которое действительно сокращает счёт.
| Приём | Как преобразовать выражение | Почему удобно | Пример |
|---|---|---|---|
| Перестановка и группировка слагаемых | Поменять слагаемые местами и объединить нужные числа | Можно получить круглую сумму | 28 + 47 + 72 = (28 + 72) + 47 |
| Перестановка и группировка множителей | Поменять множители местами и поставить рядом удобные | Произведение отдельных частей становится проще | 2 · 25 · 4 = (25 · 4) · 2 |
| Замена числа суммой или разностью круглого числа и небольшого числа | Представить число как 100 + 3 или 100 − 1 | Умножение на круглое число выполняется быстро | 37 · 99 = 37 · (100 − 1) |
| Разложение множителя на удобные множители | Заменить множитель произведением двух или нескольких чисел | Можно получить 10, 100 или другой удобный множитель | 25 · 36 = 25 · 4 · 9 |
Сначала определи, какие числа в выражении можно сделать соседними или заменить удобной суммой, разностью либо произведением. Затем выполни преобразование, сохраняя знаки и все слагаемые. После этого считай по новому порядку и проверь результат обратным действием или приблизительной оценкой.
Нужно сложить три числа, но последовательное сложение не является самым быстрым способом. В выражении есть числа 28 и 72, сумма которых равна 100. Поэтому применим переместительное и сочетательное свойства, чтобы поставить их рядом.
Ответ: 147. Приём удобен потому, что сначала получилось число 100, а прибавить к нему 47 легко.
Число 25 удобно умножать на 4, потому что получается 100. В числе 36 есть такой множитель: 36 = 4 · 9. Значит, разложим 36 и изменим порядок умножения.
Ответ: 900. Мы не изменили набор множителей, а только заменили один множитель произведением и выбрали удобный порядок действий.
В обоих слагаемых есть общий множитель 48. Если вынести его за скобки, сложение двух больших произведений заменится одним умножением на их сумму. Такой способ уменьшает количество действий и делает выражение прозрачнее.
Ответ: 48 000. Проверка распределительным свойством показывает, что 48 · (125 + 875) действительно равно исходной сумме.
Первая ошибка — менять местами или группировать числа при вычитании или делении. Эти действия не обладают переместительным и сочетательным свойствами в обычном виде, поэтому 9 − 4 нельзя заменить на 4 − 9. Проверь себя: сравни исходный и преобразованный результаты на простом примере.
Вторая ошибка — при вынесении общего множителя потерять слагаемое или изменить знак. Например, a · b + a · c превращается в a · (b + c), а не в a · b + c. Чтобы проверить запись, раскрой скобки обратно и сравни все члены.
Третья ошибка возникает при замене числа разностью: знак минус иногда забывают учесть. В записи 99 = 100 − 1 выражение 37 · 99 должно стать 37 · 100 − 37, а не суммой. Проверь знак перед вторым произведением и оцени, должно ли значение быть немного меньше 3700.
Четвёртая ошибка — считать, что любой новый порядок действий автоматически удобен. Если после преобразования появляются более сложные числа, приём не дал пользы. Сравни варианты заранее и выбери тот, где возникает круглая сумма или произведение.
Для рациональных вычислений нужно знать порядок действий, свойства сложения и умножения, а также уметь представлять число в виде суммы, разности или произведения. Эти знания объясняют, почему разрешены перестановка, группировка и раскрытие скобок.
Приёмы применяются в устных и письменных вычислениях, при преобразовании числовых выражений и упрощении выражений с переменными. Те же свойства помогают выносить общий множитель и сокращать сложные записи в алгебре.
Как понять, какие слагаемые удобнее сложить сначала?
Ищи пары, которые дают круглое число: 10, 100, 1000 и другие удобные значения. Например, в сумме 28 + 47 + 72 выгодно сначала сложить 28 и 72.
Можно ли менять местами числа при вычитании?
Нет, вычитание не обладает переместительным свойством. Например, 9 − 4 не равно 4 − 9, поэтому переставлять уменьшаемое и вычитаемое нельзя.
Зачем раскладывать множитель на несколько чисел?
Разложение помогает получить удобный множитель и упростить вычисления. Например, 36 можно представить как 4 · 9, а затем сначала вычислить 25 · 4.
Как вычислить произведение, если один из множителей близок к круглому числу?
Представь множитель как сумму или разность круглого числа и небольшого числа. Например, 99 = 100 − 1, поэтому 37 · 99 = 37 · 100 − 37.
Как проверить, что преобразование выражения выполнено правильно?
Проверь, сохраняется ли исходное действие: не изменились ли знаки и не потерялся ли какой-либо член. Можно также вычислить выражение старым и новым способом и сравнить результаты.
Урок 21.Приемы рациональных вычислений
