Урок 29.Деление двузначного числа на двузначное

Определения и обозначения

Деление двузначного числа на двузначное — действие, при котором нужно определить, сколько раз делитель содержится в делимом. Например, в записи 84 : 21 число 84 — делимое, а 21 — делитель. Это действие помогает распределять предметы на равные группы или узнавать, сколько раз одна величина укладывается в другой.

Частное — результат деления; при делении двузначных чисел его находят подбором и проверкой. В записи 84 : 21 частное показывает, сколько раз число 21 содержится в числе 84. Чтобы не угадывать, его сопоставляют с кратными делителя и проверяют вычислением.

Проба частного — проверка предположенного частного умножением делителя на него. Если, например, предполагаемое частное равно 4, нужно вычислить делитель × 4 и сравнить произведение с делимым. Такая проверка показывает, верно ли выбрано частное, и помогает обнаружить ошибку.

Деление с остатком — деление, при котором после выделения целого числа групп остаётся число меньше делителя. Например, остаток показывает, сколько предметов не удалось распределить по полным группам. Это понятие нужно, когда делимое не является точным кратным делителя.

Как это устроено

Сначала полезно оценить возможное частное по величине делимого и делителя. Если числа близки, частное, скорее всего, небольшое; если делимое в несколько раз больше делителя, можно начать с проверки соответствующего числа раз. Такая оценка сокращает перебор и помогает не выбирать частное наугад. Она задаёт разумное предположение, которое затем проверяется точно.

Подбирая частное, рассматривают кратные делителя: сначала умножают его на предполагаемое число, затем при необходимости проверяют соседние варианты. Например, для делителя 13 можно сопоставить 13, 26, 39, 52 и другие кратные с делимым. Так видно, какое количество групп помещается в делимом. Если кратное совпало с делимым, найдено частное для деления нацело.

Предположение проверяют умножением, потому что умножение связано с делением как обратное действие. Произведение делителя и частного показывает, сколько составляют все найденные группы вместе. При делении нацело это произведение должно точно равняться делимому. Сравнение позволяет не принять за ответ число, которое лишь приблизительно подходит.

Если произведение больше делимого, выбранное частное слишком велико: столько полных групп в делимом не помещается. Его уменьшают и снова проверяют умножением. Если произведение меньше делимого, но следующее кратное уже больше делимого, получено деление с остатком. Остаток находят вычитанием произведения из делимого.

Результат деления с остатком записывают, указывая частное и остаток, например: 97 : 23 = 4 (ост. 5). Проверка состоит в том, чтобы умножить делитель на частное и прибавить остаток: полученная сумма должна равняться делимому. Кроме того, остаток должен быть меньше делителя. Иначе в остатке поместится ещё одна полная группа, значит, частное выбрано неверно.

Как выполнить и проверить деление двузначных чисел

Пользуйтесь таблицей после того, как оценили возможное частное. Найдите свою ситуацию и выполните действие из второго столбца. Затем обязательно проверьте результат способом из третьего столбца.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 84 : 21. Нужно узнать, сколько раз 21 содержится в 84. Начнём с нескольких кратных 21 и выберем то, которое совпадёт с делимым. После этого проверим ответ обратным действием.

1. Запишем кратные: 21 × 2 = 42, 21 × 3 = 63, 21 × 4 = 84.
2. Произведение 21 × 4 совпало с делимым, значит, частное равно 4.
3. Проверка: 84 : 21 = 4, потому что 21 × 4 = 84.

Ответ: 4.

Задача 2. Вычислите 91 : 13. Переберём кратные 13, пока не найдём равное 91. Можно проверять произведения по порядку: это позволяет не пропустить подходящее частное. Последняя проверка умножением подтвердит результат.

1. Вычислим кратные: 13 × 5 = 65, 13 × 6 = 78, 13 × 7 = 91.
2. Кратное 91 совпало с делимым, поэтому частное равно 7.
3. Проверка: 13 × 7 = 91, значит, деление выполнено нацело.

Ответ: 7.

Задача 3. Разделите 97 на 23 с остатком и проверьте результат. Ищем наибольшее кратное 23, которое не превосходит 97. Четыре раза по 23 помещается, а пять раз — уже больше делимого. Разность между 97 и найденным кратным даст остаток.

1. Проверим соседние кратные: 23 × 4 = 92, а 23 × 5 = 115.
2. Число 92 не превосходит 97, а 115 больше него, поэтому частное равно 4.
3. Найдём остаток: 97 − 92 = 5. Запишем результат: 97 : 23 = 4 (ост. 5).
4. Проверим: 23 × 4 + 5 = 97, и 5 < 23. Равенство и условие для остатка выполнены.

Ответ: 4 (ост. 5).

Типичные ошибки

• Частное выбирают наугад и не проверяют умножением, поэтому получают неверный результат. Так бывает, когда опираются только на примерную оценку и не сравнивают кратное с делимым. Проверьте ответ: умножьте делитель на частное и сравните произведение с делимым.

• Иногда оставляют произведение делителя на частное больше делимого, хотя это означает, что выбранное число групп не помещается. Такую ошибку допускают, если останавливаются на первом предположении и не проверяют величину произведения. Уменьшите частное и проверьте, что произведение стало не больше делимого.

• При делении с остатком остаток может получиться равным делителю или больше него. Это происходит, если нашли не наибольшее подходящее кратное и не выделили ещё одну полную группу. Проверьте условие остатка: он должен быть меньше делителя; если это не так, увеличьте частное.

• При проверке иногда умножают частное не на тот множитель, путая делимое и делитель. Ошибка возникает из-за неверного чтения записи деления. Сначала назовите числа: делитель умножают на частное, а при делении с остатком к произведению прибавляют остаток.

Связь с другими темами

Для подбора частного нужны навыки умножения и деления, знание таблицы умножения и связи между этими действиями. Умножение помогает проверить, сколько составляют выбранные группы. Поэтому перед вычислением полезно освежить кратные двузначного делителя.

Подбор частного и проверка деления с остатком пригодятся при письменном делении многозначных чисел. Тот же смысл деления встречается в задачах на распределение предметов по равным группам. Если группы получаются неполными, остаток показывает, сколько предметов осталось.

Что запомнить

• Частное подбирают по кратным делителя.
• Подобранное частное проверяют умножением.
• При делении нацело произведение делителя и частного равно делимому.
• При делении с остатком делимое равно произведению делителя и частного плюс остаток.
• Остаток всегда меньше делителя.
• Если произведение больше делимого, частное нужно уменьшить.