"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В., Разумовский В.А. и др.
Прибавить число к сумме можно, не вычисляя сумму в скобках заранее: достаточно объединить прибавляемое число с одним из слагаемых. Затем к полученному результату прибавляют оставшееся слагаемое. Такой приём основан на свойствах сложения и помогает выбирать удобный порядок устного счёта — например, сначала получать круглые числа. При перегруппировке значение выражения сохраняется.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сумма — результат сложения; в выражении b + c числа b и c являются слагаемыми. Например, в записи 4 + 7 сумма равна 11, а числа 4 и 7 — её слагаемые. Понятие суммы помогает увидеть, какие числа участвуют в выражении и что получится после сложения.
Слагаемое — число, которое складывают с другим числом или числами. В выражении 6 + 3 слагаемые — 6 и 3, а в записи 6 + 3 + 2 их уже три. Если распознавать слагаемые, можно менять их порядок и объединять удобными группами, не теряя ни одного числа.
Прибавление числа к сумме — действие вида a + (b + c), где к сумме b + c прибавляют число a. Например, в выражении 5 + (2 + 8) к сумме чисел 2 и 8 прибавляют 5. Такая запись нужна, чтобы обозначить сложение числа с уже записанной суммой и выбрать удобный способ вычисления.
Чтобы прибавить число к сумме, можно сначала прибавить его к одному из слагаемых, а затем прибавить другое: a + (b + c) = (a + b) + c. Это возможно благодаря сочетательному свойству сложения: при сложении нескольких чисел скобки можно расставлять по-разному. Числа при этом остаются прежними, поэтому итоговая сумма не меняется.
Число a можно объединить не только с b, но и с c: a + (b + c) = b + (a + c). Сначала переместительное свойство позволяет поменять местами a и b, а затем сочетательное помогает сгруппировать a с c. Так можно выбрать пару чисел, которую проще сложить, и всё равно учесть оставшееся слагаемое.
Основа правила — переместительное и сочетательное свойства сложения. Переместительное свойство разрешает менять слагаемые местами, а сочетательное — по-разному объединять их в группы. Вместе они объясняют, почему a + (b + c), (a + b) + c и b + (a + c) имеют одинаковое значение: во всех записях складываются одни и те же числа.
При вычислениях выбирают группировку, которая облегчает счёт. Например, если среди слагаемых есть числа 37 и 13, удобно сначала получить 50, а уже потом прибавить оставшееся число. Такой выбор полезен для устного счёта, но не обязателен: если удобной пары нет, можно вычислять другим способом.
В записи со скобками при перегруппировке не меняются сами слагаемые и их общее количество — меняется только порядок действий. Поэтому после преобразования нужно проверить, что все исходные числа остались в выражении. Если одно из них исчезло или стало другим, это уже не равносильное преобразование.
| Запись | Преобразование | Когда удобно |
|---|---|---|
| a + (b + c) | Исходное выражение | Когда сумма уже записана в скобках |
| a + (b + c) | (a + b) + c | Если a и b удобно сложить |
| a + (b + c) | b + (a + c) | Если a и c удобнее объединить |
Сначала найди в выражении прибавляемое число и слагаемые суммы, а затем сравни возможные пары. Выбери преобразование, при котором проще выполнить первое сложение, и не забудь прибавить оставшееся слагаемое. Таблица показывает, что один и тот же исходный пример можно сгруппировать двумя способами.
Слагаемые 12 и 8 при сложении дают круглое число 20, поэтому выгодно объединить именно их. При этом число 5 нельзя потерять: его нужно прибавить после первого вычисления. Решение по шагам:
Ответ: 25. Мы не меняли числа, а только выбрали удобную пару для первого сложения. Так проще, чем сначала получать 8 + 5 = 13, а затем складывать 12 и 13.
Сначала посмотрим на пары: 37 и 13 дают 50, поэтому их удобно сложить первыми. Число 26 останется третьим слагаемым и будет прибавлено к полученному результату. Запишем вычисление:
Ответ: 76. Выбранная группа превратилась в круглое число, поэтому дальнейший счёт стал проще. Если бы мы сначала сложили 13 и 26, правило всё равно сохраняло бы значение, но вычисление было бы менее удобным.
В выражении есть числа 148 и 52: их сумма равна 200, поэтому выгодно объединить их. По переместительному и сочетательному свойствам можно изменить порядок и группировку, не меняя слагаемых. Затем к круглому числу останется прибавить 79:
Ответ: 279. Преобразование допустимо, потому что мы только объединили 148 и 52 в одну группу. Число 79 осталось в выражении и было прибавлено после этого.
Меняют слагаемое при перегруппировке. Правило разрешает менять местами числа и по-разному расставлять скобки, но не заменять одно число другим. Такую ошибку допускают, сосредоточившись на удобном результате и забыв сверить запись с исходным выражением. Проверь каждое слагаемое: все числа должны остаться прежними.
Прибавляют число только к одному слагаемому и забывают про другое. Например, после вычисления удобной пары оставляют только её результат, хотя в исходной сумме было ещё одно число. Ошибка возникает, если считать преобразование завершённым после первого сложения. Пересчитай слагаемые: каждое исходное число должно участвовать в итоговом вычислении.
Теряют слагаемое при раскрытии скобок. Запись a + (b + c) нельзя заменить на a + b: число c тоже входит в сумму. Обычно его пропускают, когда торопятся или смотрят только на первые два числа. Проверь, что в новой записи присутствуют a, b и c.
Считают, что преобразование обязательно ускоряет вычисление. Перегруппировка сохраняет значение, но не всегда делает счёт легче. Иногда подходящей пары для круглого числа нет, и другой порядок оказывается таким же удобным или даже проще. Сравни варианты, а затем выбери способ, который действительно помогает считать.
Для работы с прибавлением числа к сумме нужно знать, что означают сложение, слагаемое и сумма, а также помнить переместительное и сочетательное свойства. Они объясняют, какие преобразования допустимы и почему ответ от них не меняется. Этот приём пригодится при устных вычислениях и упрощении числовых выражений с несколькими слагаемыми.
Можно ли сначала сложить число с любым слагаемым суммы?
Да, прибавляемое число можно объединить с любым слагаемым. Выбирай то, с которым легче считать, а оставшееся слагаемое обязательно прибавь.
Почему после перегруппировки значение выражения не меняется?
Слагаемые остаются теми же, меняются только их порядок и группировка. Переместительное и сочетательное свойства сложения гарантируют, что сумма сохранит значение.
Обязательно ли сначала вычислять сумму в скобках?
Нет, сумму в скобках можно не вычислять отдельно. Перегруппируй слагаемые так, чтобы вычисления стали проще.
Как выбрать, с каким слагаемым объединить прибавляемое число?
Посмотри, какое слагаемое поможет получить круглое число или упростит устный счёт. После этого прибавь оставшееся слагаемое.
Можно ли применять это правило, если слагаемых больше двух?
Да, можно перегруппировать несколько слагаемых, используя свойства сложения. При этом нельзя терять или заменять слагаемые: в итоге каждое исходное число должно участвовать в сумме.
Урок 3.Прибавление числа к сумме
